3.2. Середні величини та показники варіації. Структурні середні величини.

При вивчені масових явищ одна з основних задач статистики є вивчення окремих властивостей кожної сукупності явища. Для того щоб виявити характерні особливості сукупності, використовують середні величини. Середня величина характеризує всю вагу одиниць сукупності.

В статистиці використовують декілька видів середніх величин. Основними серед них є: середня арифметична, середня гармонічна, середня квадратична і середня геометрична

Середня арифметична – основний вид середніх величин. Буває проста і зважена. Проста – це сума індивідуальних значень варіїруючої ознак, що поділена на кількість одиниць сукупності. Зважена – середня із варіантів, що повторюється не однакову кількість раз чи має різну статистичну вагу.

Середня квадратична використовується для оцінки варіації, тобто коли треба оцінити середню варіацію ознаки. Середнє гармонійне і середнє геометричне в даному випадку не знаходимо.

Середня арифметична проста:

= Х_і / n (3.4)

де Х_і – індивідуальні значення ознаки;

n – кількість одиниць сукупності.

Середня арифметична зважена. Оскільки сукупність згрупована, а частоти варіантів задані явно, то визначаємо середню арифметичну зважену величину:

; (3.5)

де Х_і – індивідуальні значення ознаки;

m_і – кількість однакових варіант.

Структурні середні характеризують структуру 26аріаційних рядів. До них відносяться мода і медіана. Вони виражають визначене значення ознаки у ряду розподілу.

Мода – значення ознаки, що найбільш часто повторюється.

Медіаною називається значення ознаки, що знаходиться в середині ранжируємого ряду і поділяє цей ряд на дві рівні частини

Структурні середні

а) визначення моди:

; (3.6)

де Х₀ – нижня границя модального інтервалу;

і – величина інтервалу;

m_Mo ‑ відносна частота модального інтервалу;

m_Mo-1 ‑ відносна частота, передуючого модальному, інтервалу;

m_Mo+1 – відносна частота, наступного після модального, інтервалу.

б) визначення медіани:

(3.7)

де Х₀ – нижня границя медіанного інтервалу;

і – величина інтервалу;

m_і – загальна сума частот усіх інтервалів;

m_е – частота медіанного інтервалу;

Sm_e-1 – сума частот до медіанного інтервалу.

Крім визначення середніх величин в цьому пункті курсової роботи знаходимо показники варіації. Вони показують коливність ознаки у сукупності. До них відносяться: розмах варіації, середньо лінійні відхилення, середньоквадратичні відхилення і дисперсія

Показники варіації:

а) середньоквадратичне відхилення - показує наскільки в середньому індивідуальне значення відхиляється від середнього, але з врахуванням знаку.

(3.8)

б) дисперсія

(3.9)

Відносні показники варіації (коефіцієнти варіації) – необхідні для того, щоб порівняти варіацію різних ознак в різних сукупностях. Застосовується для оцінки однорідності сукупності. Якщо коефіцієнт варіації більше 30%, то вважають що сукупність неоднорідна.

а) лінійний

(3.10)

б) квадратичний

(3.11)

1) Проведемо розрахунок середніх показників та показників варіації за кількісною ознакою – стаж роботи (роки). Для цього, використовуємо структурне групування таблиця №8:

№	Стаж	Кількість водіїв
1	1-4	9
2	4-7	7
3	7-10	8
4	10-13	3
5	13-16	0
6	16-19	1

Середні показники:

1)Середнє арифметичне :

=(2,5*9)+(5,5*7)+(8,5*8)+(11,5*3)+(14,5*0)+(17,5*1)=181/28≈6,5

2) Мо = 1+3 =1+3*1,3 ≈ 4,9 (роки) – на АТП найчастіше зустрічаються водії зі стажем ≈ 4,9 років.

3)Ме = 4+3 =6,1(роки) – на АТП половина водіїв зі стажем менше 6,1 років, і половина більше.

4) Розмах варіації:

R=19-1=18 (роки) – показує, що варіруюча ознака змінюється у межах 18 років.

5) Середньо-лінійне відхилення:

Л= =

= ≈3,03 (років) – показує, що індивідуальні значення відрізняються від середнього на 3,03 роки (без урахування знаку відхилення).

6)Середньоквадратичне відхилення: =3,68 (роки) відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки від середнього значення становить 3,68 років (відхилення відбувається як в одну, так і в іншу сторону)

7) Дисперсія:

13,53

відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки від середнього значення становить 13,53 років.

8) Коефіцієнти варіації:

46,6% - коефіцієнт більше 30%, отже сукупність не однорідна.

56,6% - коефіцієнт більше 30%, отже сукупність не однорідна.

1. Проведемо ще один розрахунок середніх показників та показників варіації за кількісною ознакою – продуктивність праці (т/год). Дані беремо з таблиці структурного групування (таблиця №9):

№	Продуктивність праці (т/год)	Кількість Водіїв
1	121 - 126,3	4
2	126,3 - 131,6	7
3	131,6 – 136,9	7
4	136,9 – 142,2	7
5	142,2 – 147,5	2
6	147,5 – 153	1

1)Середнє арифметичне:

= ≈ 134,4 т/год

2. Мо=121+15,3* =142,2 (т/год) - на АТП найчастіше зустрічається продуктивність праці 142,2 (т/год).

3. Ме=131,6+5,3* =133,72 (т/год) – на АТП половина продуктивності праці менше 133,72 т/год, і половина більше.

4. Розмах варіації: R=153 – 121 = 32 (т/год) – показує, що варіруюча ознака змінюється у межах 32 (т/год).

5. Середньо-лінійне відхилення:

Л=(

+ )/28 ≈ 5,5 (т/год) - показує, що індивідуальні значення відрізняються від середнього на 5,5 т/год (без урахування знаку відхилення).

6) Середньоквадратичне відхилення:

= 6,9 (т/год) - відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки від середнього значення становить 6,9 т/год, як в одну, так і в іншу сторону.

7)Дисперсія:

= 47 (т/год)- відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки від середнього значення становить 47 т/год.

8)Коефіцієнти варіації:

4,1% - коефіцієнт менший 30%, отже сукупність буде однорідна.

5,1%- коефіцієнт менший 30%, отже сукупність буде однорідна.

3) Проведемо розрахунок середніх показників та показників варіації за кількісною ознакою – час у русі (год) використовуючи структ. груп.(таб №10):

№	Час у русі (год.)	Кількість водіїв
1	32 – 35,2	4
2	35,2 – 38,4	1
3	38,4 – 41,6	7
4	41,6 – 44,8	9
5	44,8 – 48	6
6	48 - 51	1

1) Середнє арифметичне:

= ≈41,7 (год)

2) Мо=32+3,2 33,8 (год) – на АТП найчастіше зустрічається час у русі 33,8 (год)

3) Ме=4,1+3,2 42,24 (год) – на АТП половина часу у русі автомобіля менше 42,24 год, і половина більше.

4) Розмах варіації: R=51-32=19 (год) – показує, що ознака змінюється у межах 19 (год).

5) Середньо лінійне відхилення:

Л=(

)/28=3,5 (год)- показує, що індивідуальні значення відрізняються від середнього на 3,5 год (без урахування знаку відхилення).

2. Середньоквадратичне відхилення:

= 5,1 (год)- відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки від середнього значення становить 5,1 год, як в одну, так і в іншу сторону.

2. Дисперсія:

= 26,4 (год)- відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки від середнього значення становить 26,4 год.

8) Коефіцієнти варіації:

- коефіцієнт менший 30%, отже сукупність буде однорідна.

=12,2%- коефіцієнт менший 30%, отже сукупність буде однорідна.