43. Показатели вариации данных. Размах. Межквартальный размах. Стандартное отклонение. Коэффициент вариации.

Показатели вариации (изменчивости) (measures of variability), вычисляемые на основании данных, измеряемых с помощью интервальных или относительных шкал, включают размах вариации, межквартильный размах, дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Статистики, показывающие меру разброса (вариабельность) значений переменной. Размах вариации (range) отражает разброс данных. Он равен разности между наибольшим и наименьшим значениями в выборке. Поэтому на него непосредственно влияют выбросы значений переменной. Разность между наибольшим и наименьшим значениями переменной в вариационном ряду. Если все значения данных умножить на константу, то значение размаха вариации умножается на ту же константу. Межквартильный размах (interquartile range) — это разность между 75- и 25-м про-центилями. Для набора точек данных, расположенных в ранжированном ряду, р-м процентилем будет такое значение переменной в ранжированном ряду распределения, чтор% единиц совокупности будут меньше и (100-р)% — больше него. Размах вариации распределения, охватывающий центральные 50% всех наблюдений. Разность между средним значением переменной и ее наблюдаемым значением называют отклонением от среднего. Дисперсия (variance) — среднее из квадратов отклонений переменной от ее средней величины. Она никогда не может быть отрицательной. Если значения данных сгруппированы вокруг среднего, то дисперсия невелика. И наоборот, если данные разбросаны, то мы имеем дело с большей дисперсией. Если все значения данных умножить на константу, то дисперсия умножится на квадрат константы. Среднеквадратичное (стандартное) отклонение (standard deviation) равно квадратному корню из дисперсии. Таким образом стандартное отклонение выражается в тех же единицах, что и сами данные. Дисперсия (variance) Среднее из квадратов отклонений переменной от ее средней величины. Среднеквадратичное (стандартное) отклонение (standard deviation) Корень квадратный из значения дисперсии. Мы делим на (n — 1) вместо п, поскольку имеем дело с выборкой, а не с генеральной совокупностью. Поэтому генеральное среднее неизвестно, и вместо него используют выборочное среднее, что делает выборку менее изменчивой, чем фактически. Деля на (n -1) вместо п, мы корректируем более слабую изменчивость значений переменой, наблюдаемую в выборке, повышая ее. Коэффициент вариации (coefficient of variation) — это отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах. Коэффициент вариации — показатель относительной изменчивости переменной. Коэффициент вариации вычисляют так: Величина относительной изменчивости переменной, представляющая собой отношение ее стандартного отклонения к ее среднему значению. Коэффициент вариации имеет смысл, только если переменную измеряют по относительной шкале.

44. Показатели формы распределения. Ассиметрия. Эксцес. Показатели формы распределения Показатели формы распределения, как и показатели вариации, также полезны для понимания природы распределения переменной. Форму распределения оценивают с помощью показателей асимметрии и эксцесса. Асимметрия. Распределение переменной может быть симметричным или асимметричным (скошенным). При симметричном распределении частоты любых двух значений переменной, которые расположены на одном и том же расстоянии от центра распределения, одинаковы. Асимметрия, скошенность вариационного ряда (skewness) Характеристика распределения, с помощью которой оценивается симметрия расположения значений переменной относительно средней. Эксцесс (kurtosis) — это показатель относительной крутости (островершинности или плосковершинности) кривой вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Эксцесс нормально распределенной случайной величины равен нулю. Если эксцесс положителен, то распределение более островершинное по сравнению с нормальным распределением.