Лекция 5

Количество движения материальной точки. Импульс силы и его проекции на оси. Теорема об изменении количества движения МТ.

Момент количества движения МТ относительно центра и оси. Теорема об изменении момента количества движения МТ. Сохранение момента количества движения МТ в случае центральной силы.

Понятие о секторной скорости. Закон площадей

Количество движения материальной точки

Количество движения МТ - вектор, равный произведению массы точки на ее скорость : . Так как масса положительная величина, то вектор имеет то же направление, что и вектор скорости .

Проекции вектора на координатные оси

, , .

Размерность количества движения [q] = [масса·скорость] = [сила·время].

В технической системе – [ ], в системе CИ – [ ]=[ ].

Импульс силы

1. Случай постоянной силы (рис. 5.1).

Импульс постоянной силы за некоторый промежуток времени есть вектор, равный произведению силы на данный промежуток времени t

. (5.1)

Так как время скалярная величина, то импульс силы по направлению совпадает с вектором силы. Размерность [S]= [сила·время], то есть импульс силы имеет такую же размерность, что и количество движения.

2. Случай переменной силы (рис. 5.2).

Элементарным импульсом силы называется импульс за бесконечно малый промежуток времени ее действия

.

Импульс переменной силы за конечный промежуток времени равен векторному определенному интегралу от силы по времени t, вычисленному в соответствующих пределах.

. (5.2)

Импульс может быть вычислен через проекции. Следует иметь в виду, что проекция на какую-либо ось импульса силы, действующей на точку, за некоторый промежуток времени равна импульсу проекции силы на ту же ось за то же время

. (5.3)

Если сила постоянна, то

, , . (5.4)

Полный импульс по модулю

. (5.5)

Теорема об изменении количества движения мт

Напишем основное уравнение динамики МТ

, или . (5.6)

В левой части равенства содержится производная от количества движения по времени, а справа действующая сила или равнодействующая системы сил.

Теорема об изменении количества движения МТ в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения МТ равна силе, действующей на МТ.

Разделив переменные и взяв определенный интеграл в соответствующих пределах, имеем

,

откуда вытекает теорема об изменении количества движения МТ в конечной форме

, (5.7)

то есть изменение количества движения МТ за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку, за то же время.

На практике удобно применять теорему в проекциях

,

, (5.8)

,

то есть изменение проекции вектора количества движения МТ на какую-либо ось за некоторый промежуток времени равно проекции на ту же ось импульса действующей на МТ силы за то же время.