Лекция 17

Прямой центральный удар двух тел. Потеря кинетической энергии

(теорема Карно). Теорема об изменении кинетического момента.

Действие ударных сил на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара

Прямой центральный удар двух тел

П усть происходит прямой центральный удар двух тел массой m₁ и m₂, коэффициент восстановления k известен (рис. 17.1). Скорости и направлены по линии удара. Определим и скорости тел после удара.

При отсутствии внешних ударных импульсов количество движения системы тел при ударе остаётся неизменным

.

Векторы скоростей и расположены на линии удара, так как на каждое тело действует ударный импульс, направленный по линии удара.

Поскольку векторы скоростей на ось проецируются в натуральную величину, то можно написать

. (17.1)

В уравнение (17.1) входят два неизвестных и . Чтобы их найти, напишем второе уравнение. При ударе о неподвижную поверхность коэффициент восстановления

,

где - скорость углубления тела в подвижное тело

,

- скорость, с которой тело отделяется от тела ,

.

Скорости и имеют разные знаки. Поэтому коэффициент восстановления

.

Напишем систему уравнений

(17.2)

откуда

,

. (17.3)

Потеря кинетической энергии (теорема Карно)

Изменение кинетической энергии системы соударяющихся тел за время удара

(17.4)

Из (17.3) имеем

.

Тогда

.

Из (17.2) имеем

.

Следовательно,

Окончательно

. (17.5)

По этой формуле потеря кинетической энергии при

. (17.6)

Это соотношение выражает известную теорему Карно.

При абсолютно упругом ударе потери кинетической энергии не происходит, то есть .

Частные случаи прямого центрального удара двух тел

1. Случай абсолютно неупругого удара двух тел .

Общая скорость тел после удара на основании (17.3)

.

Потеря кинетической энергии по формуле (17.6)

На практике такой удар применяется для деформирования тел или для сообщения скорости.

Потерянная энергия затрачивается на деформацию, а оставшаяся на преодоление сопротивлений при последующем движении. В начале удара кинетическая энергия определяется кинетической энергией тела , а оставшаяся – энергией тела .

Если удар используется для деформаций, то должно выполняться условие >> . Например, масса наковальни при ковке должна быть значительно больше массы молота.

Если удар используется для сообщения скорости, тогда, наоборот, >> (молоток массой при забивании гвоздя массой ).

2. Случай абсолютно упругого удара ( ).

Для абсолютно упругого удара тел равных масс из (17.3) находим

, ,

то есть при абсолютно упругом ударе тела равных масс обмениваются скоростями. Потери кинетической энергии в этом случае не происходит.