- •Лекция 1
- •Основные законы динамики
- •Каждую из сил можно представить , а так как , то , откуда , то есть модули ускорений, сообщаемых друг другу материальными точками при взаимодействии, обратно пропорциональны их массам.
- •Системы единиц
- •Дифференциальные уравнения движения материальной точки Пользуясь основным законом динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения мт в различных системах координат.
- •Две основные задачи динамики материальной точки
- •Проекции силы на оси
- •Лекция 2
- •Вторая задача динамики точки
- •Частные случаи прямолинейного движения материальной точки
- •Прямолинейные колебания материальной точки
- •Свободные колебания
- •Лекция 3
- •Затухающие колебания
- •Апериодическое движение
- •Вынужденные колебания без учета сопротивления
- •Явление резонанса
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Количество движения материальной точки
- •Импульс силы
- •Теорема об изменении количества движения мт
- •Момент количества движения мт относительно центра и оси
- •Теорема об изменении момента количества движения мт
- •Движение мт под действием центральной силы
- •Лекция 6
- •Работа силы
- •Мощность
- •Частные случаи определения работы силы
- •Работа линейной силы упругости
- •Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •Лекция 7
- •Механическая система. Классификация сил
- •Центр масс механической системы
- •Моменты инерции
- •Теорема Штейнера-Гюйгенса
- •М оменты инерции однородных тел
- •Лекция 8
- •Работа внутренних сил
- •Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия механической системы
- •Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения
- •Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •Лекция 9
- •Количество движения системы
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Лекция 10
- •Поступательное движение
- •Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение
- •Физический маятник
- •Лекция 11
- •Силы инерции. Принцип Даламбера для мт
- •Принцип Даламбера для механической системы
- •Главный вектор и главный момент сил инерции
- •Частные случаи
- •Лекция 12
- •Связи и их уравнения
- •Классификация связей
- •Возможное (виртуальное) перемещение
- •Идеальные связи
- •Принцип возможных (виртуальных) перемещений
- •Лекция 13
- •Условия равновесия в обобщенных координатах
- •Общее уравнение динамики
- •Лекция 14
- •Уравнение Лагранжа II-го рода
- •Лекция 15
- •Устойчивость равновесия и движения механической системы
- •Теорема Лагранжа-Дирихле
- •Малые колебания механической системы с одной степенью свободы
- •Лекция 16
- •Явление удара
- •Действие ударной силы на мт
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Удар шара о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления
- •Лекция 17
- •Прямой центральный удар двух тел
- •Потеря кинетической энергии (теорема Карно)
- •Частные случаи прямого центрального удара двух тел
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Действие ударных сил на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара
- •Заключение
Главный вектор и главный момент сил инерции
Как всякая система сил, система сил инерции может быть приведена к какому-либо центру О.
Рассмотрим совокупность сил инерции .
Главный вектор системы сил инерции
.
Заменим , тогда
,
где (M – масса системы).
Тогда
или
, (11.8)
т о есть главный вектор сил инерции для системы МТ равен силе инерции центра масс системы в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы (рис.11.3).
Главный момент сил инерции
.
С другой стороны, на основании теоремы об изменении кинетического момента системы имеем
.
Таким образом,
, (11.9)
то есть главный момент сил инерции относительно центра О равен взятому с обратным знаком вектору, выражающему производную по времени от кинетического момента системы относительно того же центра.
Аналогично для проекций. Например,
. (11.10)
В частности, при вращении твердого тела вокруг оси z его кинетический момент . Следовательно, для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно написать
,
то есть
. (11.11)
Этот момент создают касательные силы инерции.
Частные случаи
Поступательное движение. Ускорения всех точек тела одинаковы и равны ускорению центра масс С. Силы инерции точек образуют систему параллельных сил и имеют равнодействующую, проходящую через центр масс
,
то есть при поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к равнодействующей , проходящей через центр масс.
Вращательное движение.
Положим, тело вращается вокруг оси , перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 11.3), с которой совпадает плоскость материальной симметрии тела. Приводя силы инерции к центру О, получим результирующую силу и пару, лежащие в плоскости симметрии. Тогда, с учетом (11.11), имеем
, (11.12)
то есть система сил инерции вращающего тела приводится к силе , проходящей чрез центр О, и паре с моментом , лежащей в плоскости симметрии тела.
Вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела.
В этом случае , поэтому . Поэтому система сил инерции приводится к паре сил с моментом , лежащей в плоскости симметрии тела.
Плоскопараллельное движение.
П оложим, тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно ей. В этом случае система сил инерции приводится к лежащим в плоскости симметрии силе инерции , приложенной в центре масс, и паре сил с моментом .
Рассмотрим тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z с постоянной угловой скоростью (рис. 11.4).
Обозначим проекции на координатные оси главного вектора внешних сил , главного вектора сил инерции , главного момента внешних сил , главного момента сил инерции , динамические реакции . Напишем уравнения динамического равновесия тела
,
,
, (11.13)
,
,
.
Последнее уравнение удовлетворяется тождественно, так как при отсутствии углового ускорения каждый из его членов сам по себе равен нулю.
Главный вектор сил инерции при равен произведению массы тела на нормальное ускорение центра масс С тела
, (11.14)
где m – масса тела, нормальное ускорение точки С .
Тогда
, , .
Для определения проекций возьмем точку тела с массой , отстоящую от оси на расстоянии , центробежная сила инерции которой , проекции которой по аналогии с равны , , . Следовательно, моменты относительно осей
, .(11.15)
Суммируя эти выражения для всех точек тела, находим
, , (11.16)
где - центробежные моменты инерции тела.
Подставляем найденные значения в (11.13)
,
,
, (11.17)
,
.
Из этих уравнений находятся динамические реакции при равномерном вращении тела вокруг оси z. Статические реакции определяются из уравнений (11.17), если принять в них .
Из этих уравнений следует, что вращение не будет влиять на значения реакций в подшипниках A и B, если что является признаком динамической уравновешенности тела при вращении вокруг оси z.