- •Лекция 1
- •Основные законы динамики
- •Каждую из сил можно представить , а так как , то , откуда , то есть модули ускорений, сообщаемых друг другу материальными точками при взаимодействии, обратно пропорциональны их массам.
- •Системы единиц
- •Дифференциальные уравнения движения материальной точки Пользуясь основным законом динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения мт в различных системах координат.
- •Две основные задачи динамики материальной точки
- •Проекции силы на оси
- •Лекция 2
- •Вторая задача динамики точки
- •Частные случаи прямолинейного движения материальной точки
- •Прямолинейные колебания материальной точки
- •Свободные колебания
- •Лекция 3
- •Затухающие колебания
- •Апериодическое движение
- •Вынужденные колебания без учета сопротивления
- •Явление резонанса
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Количество движения материальной точки
- •Импульс силы
- •Теорема об изменении количества движения мт
- •Момент количества движения мт относительно центра и оси
- •Теорема об изменении момента количества движения мт
- •Движение мт под действием центральной силы
- •Лекция 6
- •Работа силы
- •Мощность
- •Частные случаи определения работы силы
- •Работа линейной силы упругости
- •Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •Лекция 7
- •Механическая система. Классификация сил
- •Центр масс механической системы
- •Моменты инерции
- •Теорема Штейнера-Гюйгенса
- •М оменты инерции однородных тел
- •Лекция 8
- •Работа внутренних сил
- •Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия механической системы
- •Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения
- •Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •Лекция 9
- •Количество движения системы
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Лекция 10
- •Поступательное движение
- •Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение
- •Физический маятник
- •Лекция 11
- •Силы инерции. Принцип Даламбера для мт
- •Принцип Даламбера для механической системы
- •Главный вектор и главный момент сил инерции
- •Частные случаи
- •Лекция 12
- •Связи и их уравнения
- •Классификация связей
- •Возможное (виртуальное) перемещение
- •Идеальные связи
- •Принцип возможных (виртуальных) перемещений
- •Лекция 13
- •Условия равновесия в обобщенных координатах
- •Общее уравнение динамики
- •Лекция 14
- •Уравнение Лагранжа II-го рода
- •Лекция 15
- •Устойчивость равновесия и движения механической системы
- •Теорема Лагранжа-Дирихле
- •Малые колебания механической системы с одной степенью свободы
- •Лекция 16
- •Явление удара
- •Действие ударной силы на мт
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Удар шара о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления
- •Лекция 17
- •Прямой центральный удар двух тел
- •Потеря кинетической энергии (теорема Карно)
- •Частные случаи прямого центрального удара двух тел
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Действие ударных сил на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара
- •Заключение
Количество движения системы
Напишем выражение, определяющее положение центра масс системы,
.
Продифференцировав по времени левую и правую части, имеем
, или .
Так как , а , то
, (9.1)
то есть количество движения механической системы равно количеству движения ее центра масс в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы (рис. 9.1).
С проектируем соотношение (9.1) на координатные оси
, , (9.2) .
Проекция на любую ось количества движения механической системы равна проекции на ту же ось количества движения ее центра масс в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы.
Теорема об изменении количества движения системы
Напишем теорему об изменении количества движения МТ, выделив внешние и внутренние силы,
, (9.3)
где и - равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на МТ.
Составим по аналогии эти выражения и для других МТ системы, сложим их левые и правые части, соответственно,
.
Заметим, что
, .
Следовательно,
. (9.4)
Получена теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.
Спроектируем соотношение (9.4) на координатные оси
, , ,
то есть производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на систему.
Умножив обе части соотношения (9.4) на dt, получим
, (9.5)
то есть дифференциал количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов внешних сил, действующих на систему.
В проекциях на координатные оси
, , . (9.6)
Беря интеграл от обеих частей (9.5), имеем
. (9.7)
Получена теорема об изменении количества движения механической системы в конечной форме: изменение количества движения системы за какой-то промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за то же время.
В проекциях на координатные оси аналогично
, , . (9.8)
Отметим следующее.
1. Внутренние силы не входят в теорему об изменении количества движения системы и, следовательно, не влияют на его величину.
2. При некоторых условиях для внешних сил можно получить первые интегралы системы дифференциальных уравнений движения системы.
Следствие. Закон сохранения количества движения системы.
Положим, что , тогда .
Если в течение некоторого времени главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то количество движения системы за это время остается постоянным.
Для проекций на координатные оси аналогично. Например, если , то .
Если в течение некоторого времени алгебраическая сумма проекций на какую-либо ось внешних сил, действующих на систему, остается равной нулю, то проекция на ту же ось количества движения системы за это время остается постоянной величиной.