Лабораторная работа № 8 изучение интерференции с помощью лазера

Цель работы: изучить явление интерференции в пределах возможности данной установки и определить показатель преломления стеклянной пластинки.

Приборы: экспериментальная установка.

Теоретические сведения

Временнáя и пространственная когерентность. Если осветить любую поверхность одним однородным солнечным или от лампы накаливания световым пучком, а затем поверх его другим точно таким же, то освещённость экрана, оставаясь однородной, увеличится в два раза. Ситуация коренным образом изменится, если в качестве источника света использовать лазер. В этом случае поверхность экрана покроется системой тёмных и светлых полос. Причём освещённость светлых полос будет более чем в два раза превышать суммарную освещённость обоих пучков, взятых по отдельности. То есть произойдёт перераспределение освещённостей. В этом случае говорят, что пучки интерферируют. Интерференция возможна лишь с когерентным светом, то есть интерферируют только монохроматические волны, имеющие неизменную во времени разность фаз. Чтобы разобраться с этим явлением, выясним более подробно, что же такое когерентность.

В основном речь идёт о двух типах когерентности – временной и пространственной. Если свет не обладает высокой когерентностью одного из этих типов, то чёткой интерференционной картины не будет.

Временнáя когерентность подразумевает, что все гребни волн в световом пучке следуют на строго определённом одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 22,а). Это равносильно постоянной разности фаз между ними. Среднее расстояние, на котором гребни волн сохраняют «шаг», называется длиной когерентности. Свет, обладающий высокой временнóй когерентностью, должен быть монохроматическим. Самые совершенные источники монохроматического излучения не лазерного типа имеют длину когерентности менее 1мм. Длина когерентности немонохроматического (естественного) света (рис. 22,б) не превышает 0,01мм. У лазеров же она достигает 1км.

Рис. 22

Пространственная когерентность характеризует постоянство (регулярность) фазы по фронту световой волны. Другими словами, при высокой пространственной когерентности форма волнового фронта может быть или плоской или сферической (рис. 23).

Рис. 23

Интерференция. Проанализировать интерференцию проще всего на примере линейно поляризованных в одной плоскости световых волн. Пусть две такие волны с амплитудами А₁ и А₂ накладываются друг на друга. Если обозначить их фазы через φ₁ и φ₂, то амплитуда А результирующей волны (рис. 24) равна

.

Рис. 24

Минимальное значение результирующая амплитуда имеет при выполнении условия . В этом случае при

и . (1)

Максимальное значение результирующей амплитуды будет при , тогда

и (2)

при . Здесь .

Поскольку квадрат амплитуды прямопропорционален интенсивности, т.е. , для результирующей волны получаем:

и .

Если I₁=I₂, то I_min=0 и I_max=4I₁=4I₂. Таким образом, I_max в два раза превосходит сумму интенсивностей интерферирующих волн.

Теперь можно сказать, что интерференцией называется явление наложения когерентных волн, при котором в зависимости от соотношения фаз складываемых волн происходит их усиление или ослабление, т.е. происходит перераспределение интенсивностей налагаемых волн.

Если накладываются некогерентные волны, то среднее по времени значение . В итоге регистрируется лишь среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны: . Следовательно, при наложении некогерентных волн наблюдается простое суммирование их интенсивностей: .

Некоторые важные определения.

1. Оптической длиной пути S называется произведение геометрической длины пути l световой волны в среде на абсолютный показатель преломления среды n: S=n·l.

2. Оптической разностью хода двух лучей называется ΔS=S₁-S₂.

3. Разность фаз Δφ двух когерентных волн от одного источника, одна из которых проходит длину пути l₁ в среде с абсолютным показателем преломления n₁, а другая – длину пути l₂ в среде с абсолютным показателем преломления n₂:

, (3)

где S₁=n₁·l₁, S₂=n₂·l₂, λ– длина волны света в вакууме.

4. При отражении световой волны от оптически более плотной среды фаза волны φ меняется на π, а оптическая длина пути S увеличивается на λ/2. Говорят, что в этом случае происходит потеря полуволны.

5. Если оптические длины путей двух лучей равны (S₁=S₂), то такие лучи называются таутохронными (т.е. не вносящими разности фаз).

Примечание. Линзы при введении их в оптическую систему не нарушают таутохронность лучей.

Интерференция в тонких плёнках. При падении параллельного пучка света с длиной волны λ из вакуума или воздуха на стеклянную плоскопараллельную пластинку толщиной d (рис. 25) наблюдается интерференционная картина, как в отражённом, так и в проходящем свете.

Перед тем, как перейти к подробному рассмотрению интерференции в тонких плёнках, заметим, что если из формулы (3) найти оптическую разность хода ΔS:

,

то из условий (1) и (2) получим, что интерференционный минимум наблюдается, если на разности хода двух лучей укладывается нечётное число полуволн:

, (1^/)

Рис. 25

а интерференционный максимум будет, если на разности хода двух лучей укладывается чётное число полуволн:

. (2^/)

Здесь, как и ранее,

Интерференция в отражённом свете. Оптическая разность хода ΔS лучей 1^/ и 2^/ при наблюдении интерференции в отражённом свете равна

,

где n – абсолютный показатель преломления стекла, а λ/2 добавляется за счёт отражения луча 2 от верхней границы стеклянной пластинки (среды, оптически более плотной, чем воздух). На рисунке 21 видно, что AB=BC=d/cosβ, а EC=AC·sinα=(2d·tgβ)·sinα. По закону Снеллиуса sinα/sinβ=n. Тогда

Таким образом, для отражённого света окончательно получаем

. (4)

Теперь с использованием условия (2^/) и равенства (4) для интерференционного максимума в отражённом свете (лучи 1^/ и 2^/ на рис. 21) получим:

максимум или

. (5)

Условие же интерференционного минимума этих же лучей имеет вид

минимум или

. (6)

Интерференция в проходящем свете. Оптическая разность хода ΔS лучей 1^// и 2^// при наблюдении интерференции в проходящем свете равна

.

Таким образом, оптическая разность хода между лучами в проходящем свете меньше такой же разности хода ΔS в отражённом свете на половину длины волны. Следовательно, для лучей 1^// и 2^//, вышедших из пластинки в точке D, условия минимума и максимума становятся обратными, записанным в (5,6):

максимум ; (7)

минимум . (8)

• При освещении тонкой плоскопараллельной пластинки параллельным пучком белого (естественного) света пластинка приобретает в отражённом свете радужную окраску. Это можно наблюдать, только если толщина пластинки (плёнки) не превышает длину когерентности света, т.е. не толще 0,01 мм. Поскольку в белом свете условие интерференционных максимумов для разных длин волн выполняется отдельно, то в зависимости от угла наблюдения можно видеть ту или иную окраску.

• Если параллельный пучок света падает на пластинку, толщина которой в разных местах разная, то появляющиеся интерференционные полосы проходят через точки с одинаковой толщиной пластинки. Эти интерференционные полосы называются полосами равной толщины.

• Если на плоскопараллельную пластинку падает расходящийся пучок монохроматического света, то интерференционные полосы соответствуют тем точкам падающего светового пучка, в которых угол падения, а значит и оптическая разность хода, одинаковы. Такие полосы называются полосами равного наклона.

Вывод расчётной формулы. Монохроматичность и большая длина когерентности лазерного излучения позволяют наблюдать интерференцию световых волн при очень большой (с точки зрения классической оптики) разности хода. Пусть на толстую плоскопараллельную стеклянную пластину (рис. 26) падает расходящийся световой пучок, который получен с помощью объектива, задний фокус которого совпадает с плоскостью экрана. Луч 1 падает на пластинку под углом α, преломляется под углом β в точке А и, частично отразившись от задней грани пластинки в точке В, выходит через переднюю грань в точке С. Поскольку пластинка плоскопараллельная, луч 1^/ выйдет под тем же углом α.

По условию эксперимента L >> R (угол α→0), поэтому в световом пучке всегда найдётся другой луч 2, который придёт в точку С на передней грани пластинки параллельно лучу 1. В результате по направлению СD будут распространяться два луча (1^/ и 2^/), интерферирующие между собой. В зависимости от разности хода между ними (ломаная АВС на рис. 26) в точке D на экране будет наблюдаться интерференционный максимум или минимум.

Рис. 26

Лучи, падающие под одинаковым углом, имеют одинаковую разность хода и образуют на экране одну непрерывную интерференционную полосу. Поскольку падающий на пластинку пучок света имеет коническую форму, а сама пластинка плоскопараллельна, на экране получим систему концентрических (имеющих общий центр) светлых и тёмных колец.

Запишем условие интерференционного минимума в отражённом свете для тёмной полосы

, (9)

где d – толщина пластинки, n – показатель преломления стеклянной пластинки, β – угол преломления, λ_о – длина волны света. В соответствии с законом Снеллиуса

или , (10)

где n – показатель преломления стеклянной пластины и α – угол падения луча света. Для малых углов справедливы равенства:

; . (11)

Здесь углы α и β выражены в радианах.

Преобразуем (9), учитывая соотношения (10) и (11),

Таким образом, получаем

. (12)

На рис. 26 нетрудно видеть, что при L >> R справедливо равенство

, (13)

где L – расстояние между экраном и стеклянной пластинкой. Тогда, подставляя (13) в (12), находим

или . (14)

Запишем формулу (14) для двух тёмных колец с номерами k_Z и k_J:

Вычитая из первого равенства второе, получим

. (15)

Учитывая, что , теперь можно записать окончательное выражение для нахождения показателя преломления n стеклянной пластинки:

. (16)