27. Поняття апроксимації квадратичної функції (постановка задачі).

Однією із задач, які розв`язує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції.

Припустимо, що в результаті інженерного або наукового експерименту отримана система точок . Необхідно знайти аналітичну залежність Q (х), таку, яка найкращим чином описує задану систему точок. Поняття "найкращим чином" означає розв’язання задачі по заданому критерію. Найбільш відомим критерієм для задач апроксимації є критерій середньоквадратичних відхилень (СКВ), який являє собою мінімізацію суми квадратів відхилень експериментальних даних від аналітичної функції Q (x)і визначається на заданій множині точок як

Однак при такій постановці задача апроксимації експериментальних даних має багато розв’язків. Для отримання єдиного розв’язку цієї задачі потрібно задавати значення Q (x)певного вигляду, наприклад:

степеневим поліномом

тригонометричним поліномом

ортогональним поліномом

сплайн-функцією та інш.

28. Методика оцінки емпіричного значення дисперсії.

Нормальною оцінкою дисперсії служить її виморочна дисперсія.

Для розрахунку математичного очікування та дисперсії цієї оцінки, то =m_x, представимо у вигляді:

Тоді:

Для вичислення дисперсії оцінки спочатку треба знайти її момент другого порядку

,

Де

Після цього знаходимо:

В результаті отримаємо оцінку

29. Рівняння регресії.

Для виводу емпіричної формули, яка відображає прямолінійний кореляційний зв’язок між змінними та , застосовують рівняння (1), де - коефіцієнт регресії

При прямолінійному кореляційному зв’язку між змінними існує рівняння регресії:

(2) де - коефіцієнт регресії

Середнє квадратичне відхилення коефіцієнтів регресії обчислюється так:

На практиці рівняння (1) слід привести до вигляду:

З цієї формули видно, що коефіцієнт регресії – це тангенс кута нахилу прямої, а постійний доданок – це відрізок, який відсікається цією прямою на осі ординат.

30. Методика приведення рівнянь до рівноточного виду.

При рівноточних вимірах коефіцієнти і вільні члени нормальних рівностей мають вид ,…, ,представляють собою суми добутків двох множників.

Приведення рівності к рівно точному виду полягає в тому, що всі коефіцієнти і вільні члени параметричних рівностей поправок перемножують на , де і-індекс відповідного виміру.

Після множення на редукування рівняння потрібно розглядати як рівняння для рівно точних вимірів.

Получимо:

Для приведення до рівно точного виду корельованних рівностей поправок коефіцієнти цих рівностей множать на

При редукуванні рівності до рівно точного виду таблицю коефіцієнтів доповнюють вправо графами a’₁,…,a’_r,…,l’,s’.

В нижній частині цих доповню вальних граф виписують значення:

Якщо коефіцієнти рівності рівні по абсолютній величині одиниці, то редукувати до рівно точного виду недоцільно.

23