13. Розв’язок сфероїдичних трикутників з виміряними сторонами.

Три кола, які перетинаються утворюють на сфері сферичний трикутник. Три точки А, В.С, з яких жодні дві не являються протилежними кінцями діаметра, визначають три великих кола, які перетинаються в точках А, В, С і діаметрально протилежних до них точках А´, В´, С´ і ділять поверхню кулі на вісім сферичних трикутників (див. рис.13).

Сума кутів сферичного трикутника завжди більша 180º. Різниця називається сферичним надлишком або сферичним ексцесом.

ά + β + γ – π = ε (13.1)

рис.13 Завдання . Розв’язок сферичного трикутника по трьом його сторонам з використанням теореми Лежандра

Порядок обчислення задачі:

1) Обчислення кутів , , плоского трикутника по формулам тангенсів половинних кутів при розв’язанні трикутника як плоского:

; ; ; (13.2)

де – півпериметр трикутника; – площа трикутника.

2) Визначення сферичного надлишку:

, (13.3)

де F – площа трикутника, км2.

3) Обчислення сферичних кутів за теоремою Лежандра:

; ; . (13.4)

Сферичний надлишок і кути обчислюють з точністю 0,01’’.

14. Методи вимірювання відстаней у вищій геодезії.

У вищій геодезії лініє є не прямою, а кривою. Між двома точками на будь-якій поверхні можна провести безліч кривих. У вищій геодезії точки на поверхні еліпсоїда з’єднуються геодезичними лініями, які визначаються як найкоротша відстань на даній поверхні між заданими точками. Відповідно, геодезична лінія відіграє роль прямої лінії на площині чи дуги великого круга на сфері. Геодезична лінія – така крива, у кожній точці якої дотична площина проходить через нормаль до поверхні у тій же точці.

У вищій геодезії існує кілька методів вимірювання відстаней. Вони засновані на використанні дальномірів. Дальномір – пристрій, призначений для вимірювання відстаней від спостерігача до об’єкта. Дальноміри діляться на активні та пасивні. У вищій геодезії використовується активний вид, чкий у свою чергу поділяється на світло-, оптико-, радіодальномір та ін. Принцип їх дії оснований на вимірюванні часу, який необхідний вихідному сигналу для проходження відстані до об’єкта і назад. Швидкість поширення сигналу (швидкість звуку чи світла) вважається відомою.

Отже, методи вимірювання відстаней у вищій геодезії наступні:

1) світлодальномірний. Оснований на використанні однойменного приладу для вимірювання відстані за часом проходження її світловим сигналом. Основні вузли світлодальноміра – сигналопередавач і відбивач – встановлюють на кінцях лінії, що вимірюється. Точно визначити час проходження сигналом вимірюваної відстані туди і назад досить складно. Тому в сучасних світлодальномірах використовується фазовий метод вимірювання: через інтервали часу Т проходить чергування посилення і послаблення інтенсивності світлового потоку;

2 ) радіодальномірний. При цьому методі відстань між двома точками визначається з великою точністю за допомогою передачі радіосигналів. Вимірювання можуть виконуватися в умовах серпанку, туману і при слабкому дощі. При цьому методі використовують дві станції дальноміра – головну і підрядну. Обидві випромінюють високочастотні коливання, що модулюються близькими частотами, і приймають коливання, що надходять з іншої станції. На обох станціях модулюючі частоти змішуються і виділяється їх різницева частота. Зрушення по фазі між коливаннями різної частоти на станціях пропорційний відстані між ними;

3) оптикодальномірний. Оснований на вирішенні паралактичного трикутника ОАВ, в якому гострий кут φ – паралактичний кут, а мала сторона l – база дальноміра чи базис. Базисом служить рейка, встановлена на одному кінці вимірюваної лінії перпендикулярно їй. На другому кінці, в точці О, встановлюють прилад. Відстань визначають за формулою:

D=(l/2)*ctg(φ/2).

4) лазеродальномірний. Однойменний прилад складається з імпульсного лазера та детектора випромінювання. Відстань визначається за формулою: L=ct/2, де c – швидкість поширення випромінювання, t – час проходження імпульсу до цілі і назад;

5) з використанням РГС (радіогеодезичних систем). З допомогою методу можна вимірювати відстані до 600-900 км, але відносна помилка таких вимірювань на порядок більше, ніж при викоритсанні світло- і радіодальномірів.

Незалежно від різноманітності методів вимірювання відстаней у вищій геодезії, при кожному з них необхідно враховувати вплив редукції. Редукція –приведення результатів спостережень і вимірювань з однієї системи відліку у іншу шляхом введення в них деяких поправок, що обумовлено впливом тих чи інших факторів. При названих методах вимірювання відстаней відбувається безвідносно до якої-небудь рівневої поверхні. Тому для редукування виміряних дальномірами відстаней на поверхню референц-еліпсоїда необхідні додаткові дані. Нехай, наприклад, виміряно відстань d між точками А та В. Для переходу від виміряної відстані до геодезичної лінії s між точками А0 та В0 – проекціями точок А та В на еліпсоїд – необхідно додатково знати висоти цих точок Н1 та Н2 і широту та азимут А напрямку АВ. Ці додаткові дані повинні бути отримані раніше з других видів геодезичних вимірів. Таким чином, задача редукції зводиться до знаходження різниці (d-s), що визначається з геометричної залежності.

Основні методи вимірювання відстаней. Безпосередній метод вимірювання відстаней: схема, мірні прилади та їх компарування, введеня поправок в результати вимірювань.

В геодезії за віддаль між двома зафіксованими точками місцевості вважають проекцію цієї віддалі на горизонтальну (рівневу) поверхню. Для вимірювання віддалей використовуються наступні методи.

1. Прямий (безпосередній). Суть цього методу в тому, що мірний прилад відомої довжини lн послідовно відкладається на лінії місцевості АБ (рис.2.8). При цьому рахується число n відкладених цілих довжин мірного приладу, та доміряється зали­шок r, який менший, ніж довжина мірного приладу (r<lн). Виміряна віддаль між точками місцевості вираховується за формулою

AБ = D = n lн + r. (2.28)

Рис.2.2. Безпосередній метод вимірювання віддалей

2. Посередній (побічний). Суть цього методу в тому, що відстань на місцевості визначають через інші вимірювані без­посередньо відстані та кути, які функціонально з нею зв'язані. Ілюстрацією цього методу, наприклад, тригонометричний метод визначення недоступних відстаней (рис.2.3).

Рис.2.3. Попередній метод визначення віддалей на місцевості: d – віддаль, що визначається і - безпосередньо вимірювані віддалі; - безпосередньо вимірювані кути.

З рис. 2.3 ; . (2.29)

3. Віддалемірний. Віддалеміри бувають оптичні та електромагнітні. В свою чергу електромагнітні віддалеміри діляться на радіовіддалеміри та світловіддалеміри.

Прилади для безпосередніх вимірювань віддалей по точності діляться на еталонні, зразкові та робочі. Еталоном оди­ниці довжини раніше слугували спеціально виготовлені жезли з платини. Зараз носієм одиниці довжини є спеціальна установка, а довжину одного метра вважають рівною 1650763,73 довжинам хвиль випромінювання на цій установці ізотопу криптону з атом­ною вагою 86. Зразковими мірними приладами являються інварні проволоки довжиною 20 або 24 м. Робочими мірними приладами яв­ляються стальні мірні стрічки, рулетки, проволоки, троси дов­жиною 20, 24, 25 м і більше.

Для точного вимірювання віддалей потрібно періодично виз­начати довжину мірного приладу. Процес визначення дожини називається компарування мірного приладу. Компарування мірних приладів виконується на компараторах - спеціальних установках в приміщеннях, або на відстанях місцевості, довжина яких відома досить точно. Інварні проволоки компарують, як правило, на стаціонарних компараторах, які знаходяться в спеціальних приміщеннях метрологічної служби. Довжина компаратора на місцевості для компарування робочих мірних приладів може вимірюватись інварними проволоками або електромагнітними віддалемірами. На прокомпарований мірний прилад обов'язково видається метрологічне свідоцтво, де вказуються довжина мірного приладу та температура повітря tk, при якій встановлена ця довжина.

Найчастіше для геодезичного забезпечення будівництва безпосереднє вимірювання віддалей виконується мірними стрічками або рулетками. Для контролю лінію вимірюють у зворотному напрямку. Розходження між прямим та зворотнім результатами вимірювань допускається не більше: 5 см на 100 м відстані при сприятливих умовах вимірювань та 10 см на 100 м при вимірюванні по болоту, купинястій поверхні і та ін.

Якщо віддаль між точками потрібно визначати більш точно, то в середнє значення результату вимірювань вводять наступні поправки: а) за нахил місцевості ∆D ; б) за різницю довжини мірного приладу lф від його номінального (теоретичного) значення lн - ∆Dk; в)за різницю температури мірного приладу при вимірюванні віддалі tв і його компаруванні tk- ∆Dt . Вказані поправки вираховують за формулами:

(2.30)

де v- кут нахилу місцевості (його міряють екліметром або теодолітом).

; (2.31)

, (2.32)

де - коефіцієнт лінійного розширення матеріалу, з якого виготовлений мірний прилад; для сталі

Кінцеве значення горизонтальної віддалі d вираховується за формулою

(2.33)

Відносна похибка вимірювання віддалей (∆d/d) прокомпарованою мірною стрічкою (рулеткою) знаходиться в межах від 1:1000 (при вимірюванні по болоту, купинястій місцевості та ін.) до 1:5000 (при вимірюванні по асфальтованій дорозі).