Використання конформних відображень у геодезії.
Карта – зменшене і узагальнене відображення земної поверхні на площині, створене по єдиній математичній основі і оформленню; передає розміщення і особливості основних природних, соціально-економічних чи інших об’єктів місцевості. Відобразити на площину еліпсоїд чи сферу просто неможливо без спотворень. При будь-якому зображенні поверхні еліпсоїд а на площині змінюється взаємне розташування точок, внаслідок чого неодмінно виникають спотворення довжин ліній, кутів і площ.
У вищій геодезії на площині зображують в основному невелику частину поверхні еліпсоїда, у межах якої спотворення невеликі і досить просто обчислюються. Якщо ж необхідно відобразити велику область, то її необхідно розділяти на менші частини і кожну таку частину зображати в своїй системі координат.
Тому у вищій геодезії при вирішенні цих труднощів часто користуються використанням конформних відображень. При конформних відображеннях кути між лініями на поверхні не змінюються при їх зображенні на площині.
Однак це не єдина перевага конформних відображень. Геодезичні лінії еліпсоїда зображуються на площині у вигляді складних кривих, а практичне використання таких кривих майже неможливе. Тому зображення геодезичної лінії на площині замінюються прямою лінією – хордою, яка з’єднує кінцеві точки цього зображення. Тоді виникає додаткова задача – обчислення кута між зображенням геодезичної лінії і хордою. У цьому питанні допомагає властивість конформних відображень – незалежність масштабу у даній точці зображення від напрямку в даній точці. Ця властивість дозволяє набагато простіше враховувати лінійні спотворення при виконанні геодезичних робіт.
До властивостей конформних відображень ще слід віднести можливість збереження форми нескінченно малих об’єктів.
Т
еорія
конформних відображень тісно пов’язана
з теорією аналітичних функції комплексної
змінної. Аналітична функція, що
розглядається як відображення, визначає
(при деяких умовах) конформне відображення
заданої області функції на область її
значень. Конформне відображення
представляє геометричний образ функції
комплексної змінної.
Вводиться
уявна одиниця: 1 =
.
Тоді функцію для двох вимірів х і у можна
представити одним виразом: z = x+iy, при
чому f(x, y)=0 і f(z)=0. Тут реальна величина
– Re(z)=х, а уявна – Im(z)=у.
Конформне відображення існує у кожній проекції. Так, наприклад, у стереографічна проекція – це конформне відображення, при якому паралелі переходять у концентричні круги, і меридіани переходять у промені, що виходять з центру; при проекції Меркатора зберігаються кути локсодром з меридіанами, значить зберігаються і кути між локсодромами, тобто проекція Меркатора – це теж конформне відображення,яке зберігає кут між будь-якими двома векторами дотичними до даної точки сфери.
Питанням конформних відображень займався також Гаус. Він навіть створив теорію конформного відображення еліпсоїда на шарі. В наш час ця теорія втратила свою важливість для значення вищої геодезії, однак раніше вона була «епохою в області точних наук». Питання та можливості конформних відображень вивчаються і донині.