10. Загальна характеристика прямої задачі у вищій геодезії.

Пряма геодезична задача, наряду з оберненою, є головною геодезичною задачею.

Геодезична задача – математичного виду задача, пов’язана з визначенням взаємного положення точок земної поверхні і піділяється на пряму і обернену задачі.

Прямою геодезичною задачею (ПГЗ) називають обчислення геодезичних координат - широти і довготи деякої точки, що знаходиться на земному еліпсоїді, по координатах іншої точки і по відомих довжині і дирекційному куту даного напряму, що сполучає ці точки.

Залежно від довжини геодезичної лінії, що сполучає дані точки, застосовуються різні методи і формули, розроблені в геодезії.

Для визначення координат точки в прямій геодезичній задачі зазвичай застосовують формули:

1) знаходження приростів:

2) знаходження координат:

;

Геодезична задача в тому і іншому вигляді виникає при обробці полігонометрії і тріангуляції, а також у всіх тих випадках, коли необхідно визначити взаємне положення двох точок по довжині і напряму лінії, що сполучає їх, або ж відстань і напрям між цими точками по їх геодезичних координатах. У ряді випадків геодезичні задачі вирішують в просторових прямокутних координатах по формулах аналітичної геометрії в просторі. У цих випадках замість довжини і дирекційного кута, що сполучає дві точки, використовують довжину і просторові компоненти напряму прямої лінії між цими точками.

Контролем правильності розрахунків є:

11. Загальна характеристика оберненої задачі у вищій геодезії.

Обернена геодезична задача, наряду з прямою, є головною геодезичною задачею.

Геодезична задача – математичного виду задача, пов’язана з визначенням взаємного положення точок земної поверхні і піділяється на пряму і обернену задачі.

Обернена геодезична задача (ОГЗ) полягає у визначенні по геодезичних координатах двох точок на земному еліпсоїді довжини і дирекційного кута напряму між цими точками.

Залежно від довжини геодезичної лінії, що сполучає дані точки, застосовуються різні методи і формули, розроблені в геодезії.

У зворотній геодезичній задачі знаходять дирекційний кут і відстань:

1) обчислюють румб за формулою:

2) знаходять дирекційний кут залежно від чверті кута:

3) визначають відстань між точками:

Геодезична задача в тому і іншому вигляді виникає при обробці полігонометрії і тріангуляції, а також у всіх тих випадках, коли необхідно визначити взаємне положення двох точок по довжині і напряму лінії, що сполучає їх, або ж відстань і напрям між цими точками по їх геодезичних координатах. У ряді випадків геодезичні задачі вирішують в просторових прямокутних координатах по формулах аналітичної геометрії в просторі. У цих випадках замість довжини і дирекційного кута, що сполучає дві точки, використовують довжину і просторові компоненти напряму прямої лінії між цими точками.

Контролем правильності розрахунків є:

12. Розв’язок малих сфероїдичних трикутників методом адитаментів. Теорема Лежандра.

Сфероїдичними трикутниками називають трикутники, утворені на поверхні еліпсоїда (сфероїда) геодезичними лініями. Якщо довжини сторін в трикутнику не перевищують 100-200 км, їх можна вважати сферичними, тобто розташованими на сфері відповідного радіуса.

При розв’язку сфероїдичних трикутників за правилами сферичної тригонометрії сторони повинні виражатись в радіанній або градусній мірі, так як є дугами відповідних кіл. Але на місцевості вимірювання проводяться в лінійній мірі. Це призводить до необхідності попереднього їх переводу в кутову міру, а після розв’язку трикутників – в лінійну, так як в подальшому знадобляться саме такі сторони. Все це накладає великі незручності. Тому при розв’язку сфероїдичних трикутників використовують два методи, що дозволяють отримувати довжини сторін в лінійній мірі без переводи їх в дугову.

Такими методами є розв’язки трикутників з теоремою Лежандра та за способом адатиментів. Їх перевага в тому, що вони дозволяють ров’язувати трикутники як пласкі після введення відповідних поправок в сферичні кути або сторони, що значно полегшує обчислення.

Розв’язок малих сферичних трикутників за теоремою Лежандра.

В 1787 р. А.Лежандр довів теорему, яка стверджує, що якщо сторони плаского і сферичного трикутників рівні між собою, то кути такого плаского трикутника рівні відповідним кутам сферичного трикутника, зменшеним на одну тритину сферичного надлишку. Таким чином, розв’язок сферичних трикутників зводиться до розв’язку пласких, якщо кути сферичного трикутника виправити відповідною поправкою, що рівна 1/3 сферичного надлишку.

Для доказу теореми Лежандра розглянемо сферичний трикутник АВС (сторони a,b,c в лінійних одиницях, кути А,В,С) та плаский трикутник АВС (відповідно рівні сферичним сторони a,b,c, кути А,В,С). Необхідно визначити такі різниці кутів ΔА=А-А, ΔВ=В-В, ΔС=С-С, віднімаючи які з кутів сферичного трикутника, можна було б переходити до кутів плаского трикутника: А=А-ΔА, В=В-ΔВ, С=С-ΔС.

Н ехай R – середній радіус еліпсоїда для середньої широти В, на якій розташований сферичний трикутник АВС.

Виразимо його сторони в радіанній мірі: а/R, b/R, c/R. За теоремою косинусів маємо:

cos(а/R)=cos(b/R)cos(c/R)+sin(b/R)sin(c/R)cosA

cosA=(cos(а/R)-cos(b/R)cos(c/R))/(sin(b/R)sin(c/R))

Розкладемо косинуси та синуси малих дуг в ряд, обмежуючись членами четвертого порядка малості:

В результаті:

Для плаского трикутника АВС аналогічно:

звідки

Так як А-А - мала величина, візьмемо:

Тоді

Складемо почленно ці рівності, отримаємо:

де

Введемо , маємо такі формули для обчислення сферичного надлишку:

Кути А,В,С мають назву пласких зведених кутів.

Останні формули виражають теорему Лежандра для малих сферичних трикутників, сторони яких не перевищують 200км (похибки обчислень пласких кутів трикутників складають не більше 0,001”). Значення f приймають рівним 0,00253. Отримавши зведені кути, далі трикутник розв’язують як плаский за теоремою синусів.

Розв’язок сферичних трикутників способом аддатиментів.

Цей спосіб було запропоновано німецьким вченим І. Зольднером у 1820р. Його суть – у розв’язку сферичного трикутника за формулами прямолінійної тригонометрії зі сферичними кутами та сторонами, виправленими спеціальними поправками, які називають аддатиментами.

Маємо сферичний трикутник АВС зі сторонами а,b,c в лінійній мірі і кутами А,В,С. Переводячи сторони в радіанну міру, за теоремою синусів маємо:

де R – середній радіус еліпсоїда на середній широті трикутника. Нехай сторона а відома, тоді визначимо сторону b:

Розкладаючи синуси малих величин в ряд, маємо:

Позначимо - поправки до сторін (аддатименти), а

- сторони плаского трикутника.

Сторони сферичного трикутника:

Для контроля визначаємо

В цих формулах R визначається по середній широті мережі трикутників і приймається постійним в межах зміни широти до 5. Для сторін трикутників до 100 км аддатименти обчислюють як:

де k=1/(6R2)=409*10-8 є постійним.