3.4. Объединение дискретных рисков

Проблема объединения рисков в страховом бизнесе занимает одну из ключевых позиций и поэтому актуарии уделяют ей особое внимание.

Идея базируется на естественном предположении, что если для однородного портфеля вероятность одновременной реализации большого числа страховых случаев пренебрежимо мала, то еще менее вероятно совпадение пиков выплат для различных портфелей (в условиях независимости). Поэтому создается возможность оперативного маневрирования резервами страховой компании. Это позволяет снизить свой начальный капитал без ущерба надежности.

Именно данное обстоятельство стимулирует компании расширять круг своих интересов и при этом пытаться вторгнуться в чужую сферу влияния в условиях жесточайшей конкуренции между страховщиками. Вопрос в том, успеет ли компания собрать значительную сумму страховых взносов прежде, чем на нее обрушится лавина требований о выплате возмещений.

И, чтобы выдержать эту экстремальную нагрузку, необходимы резервы, которые были созданы раньше (в других группах договоров). Поэтому, планируя политику компании на страховом рынке, актуарий обязан не только рассчитать общий объем ожидаемых требований, но и оценить интенсивность потока требований на каждом отрезке времени. В идеале он стремится так спланировать процесс, чтобы развести пики выплат по разным рискам (частям портфеля).

Разумеется, здесь можно проиллюстрировать лишь самые простые задачи этого комплекса, которые однако, могут дать предварительное представление о проблеме.

Рассмотрим случай слияния двух (или большего числа) компаний. Здесь возникает проблема объединения однородных рисков в один портфель. Преимущества более крупного портфеля достаточно подробно изложены выше. Поэтому в данном разделе рассмотрим технические вопросы этого объединения. В первую очередь нас будет интересовать, какие именно риски можно объединить на самых простых условиях.

Пример 33. Первая компания имеет портфель (n_l=400; p_l=0.01; λ₁=4), a вторая: (n₂=600; p₂=0.01; λ₂=6) и (n₃=200; p₃=0.02; λ₃=4).

Можно ли объединить первую группу договоров со второй или третьей? На что ориентироваться: равенство вероятностей или интенсивностей? (Свойства пуассоновских потоков "неизвестны")

3.5. Однородные риски

Пример 34. Очевидно, объединять «арифметически» можно только однородные группы с одинаковыми вероятностями, то есть первую и вторую (р₁=р₂). Тогда в новой группе:

n=n_l+n₂=1000; λ=λ₁+λ₂=10.

Страховщик вправе рассчитывать на повышение устойчивости компании при этом объединении. Предполагается, что можно снизить суммарный начальный резерв без ущерба для надежности (вероятности неразорения).

n=400		p=0.01		λ=4
k	Pk		ΣPk		k·Pk
…	…		…		…
4	0.195		0.629		0.781
5	0.156		0.785		0.781
6	0.104		0.889		0.625
7	0.059		0.949		0.417
8	0.030		0.979		0.238
9	0.013		0.992		0.119
10	0.005		0.997		0.053
11	0.002		0.9991		0.021

n=600		p=0.01		λ=4
k	Pk		ΣPk		k·Pk
…	…		…		…
6	0.161		0.606		0.964
7	0.138		0.744		0.964
8	0.103		0.847		0.826
9	0.069		0.916		0.619
10	0.041		0.957		0.413
11	0.023		0.980		0.248
12	0.011		0.991		0.135
13	0.005		0.996		0.068
14	0.002		0.9986		0.031
15	0.001		0.9995		0.013

Анализируя каждый из этих вариантов аналогично ранее рассмотренному примеру, получим для (600; 0.01; 6). Суммарные рисковые премии равны 6 и обеспечивают только 60% вероятность неразорения. Рисковая надбавка в 10% (0.6) не позволяет обеспечить выплату возмещения для 7-го случая. Если требуется обеспечить надежность 0.9 (что в реальности недостаточно), то необходим начальный резерв для выплаты возмещения в 7-м, 8-м, 9-м случаях т.е. 3–0.6=2.4 у.е.

Аналогично, при надежности 0.95 требуется обеспечить выплату 7–10 случаев, т.е. нужен начальный резерв 3.4 у.е., а для надежности 0.99 (используемой на практике) обеспечение 7–12 случаев резерв 5.4 у.е. Для обеспечения «сверхнадежности» 0.999 потребуется резерв 8.4 у.е., чтобы оплатить требования 7–15.

Для второй группы (400; 0.01; 4) получим аналогичные результаты. Собранная сумма рисковых премий обеспечит надежность менее 63% и оплаты первых 4-х случаев. Надбавка равна 0.4 и не обеспечивает 5-й случай. Для надежности 0.9 необходим резерв в 2.6 у.е. и соответственно:

0.95 3.6

0.99 4.6

0.999 6.6

Сравним сумму результатов по этим двум группам с результатами по «объединенной» группе.

надежность	0.9	0.95	0.99	0.999
сумма резервов	2.4+2.6=5	3.4+3.6=7	5.4+4.6=10	8.4+6.6=15
общий резерв	3	4	7	10

Таким образом, с точки зрения соотношения между надежностью и величиной резерва преимущества объединенного портфеля очевидны. Однако мы еще не анализировали перестрахование.

Необходимо для каждого малого портфеля определить оптимальную политику перестрахования и сравнить сумму цен этих двух перестраховочных договоров с ценой договора о перестраховании для объединенного портфеля.

Проведя выкладки аналогично группе (1000; 0.01; 10), получим. Для группы (600; 0.01; 6) (напомним, что передаваемый риск начинается со следующей единицы после последней удерживаемой):

надежность	удерживаются	передаются	резерв	цена договора
0.9	1–6	7–9	0	0.55
0.95	1–7	8–10	0.97	0.57
				и т.д.

Например, при надежности 0.9 надо обеспечить оплату случаев: 7–9. Если передаются на перестрахование случаи (7–9), то риск перестраховщика:

Оказывается, рисковой надбавки достаточно для оплаты договора о перестраховании. Идеальная ситуация для страховщика, но надежность слишком мала.

Для надежности 0.95 передаются 7–10 случаи и сумма соответственно равна: 0.55+(0.41–6·0.0413)=0.71. Невозможно оплатить услуги перестраховщика за счет своих клиентов. А выплата разницы (0.71–0.6=0.11) из средств самого страховщика приводит к разорению компании, что не входит в ее планы. И надежность недостаточна.

Поэтому страховщик передает перестраховщику только риски по случаям 8–10. Тогда:

Следовательно, надбавки 0.6 достаточно для оплаты перестрахования, и для покрытия риска по 7-му случаю создается начальный резерв из своих средств 0.97 .

Аналогичные расчеты для передачи на перестрахование случаев 9–10.

Предположим, что с учетом процентной ставки наиболее рациональным является именно рассмотренный вариант, где создается резерв в 0.97, удерживаются риски 1–7 случаи и передаются риски 8–10 случаев. Видно, что перестрахование стабилизирует ситуацию.

Далее можно рассмотреть вариант с надежностью 0.99 и для него выбрать оптимальное поведение. В реальности все эти методы запрограммированы, что позволяет указать итоговое решение, минуя промежуточные результаты.

Теперь проанализируем перестрахование второго «малого» портфеля (λ=4).

При надежности 0.9 оставляем риск 1–4, передаем 5–7, надбавка 0.4, риск перестраховщика

То есть надбавка не обеспечивает оплаты перестрахования и поэтому этот вариант неудовлетворительный. И надежность мала (этот вариант на практике бракуется сразу из-за ненадежности).

Для иллюстрации продолжим рассмотрение вариантов с такой же надежностью (0.9). Передаем только 6–7 случаи. Тогда риск перестраховщика:

Следовательно надбавка позволяет оплатить перестрахование, но необходимо из своих средств создать резерв 1–(0.4–0.23)=0.83.

Аналогично анализируется надежность 0.95. На основании предыдущего варианта ясно, что передавать 5-й случай нецелесообразно. Поэтому анализируем ситуацию передачи 6–8 случаев.

Тогда необходим начальный резерв 1–(0.4–0.33)=0.93.

Поскольку собранные премии составляют 4, а с надбавкой 4.4 , то дальнейшее увеличение резерва нецелесообразно. (Это можно и проверить.) Поэтому остановимся на данном варианте. В реальных расчетах на ПЭВМ введение подобных ограничений позволяет существенно уменьшить перебор вариантов.

Таким образом, для потока (λ= 4) результаты можно свести в таблицу:

надежность	оставленные	переданные	резерв	риск перестраховщика
0.9	1–5	6–7	0.83	0.23
0.95	1–5	6–8	0.93	0.33

Объединив результаты по двум «малым» потокам, получим:

0.9	5+6=11	12–16	0.83	0.55+0.23=0.78
0.95	5+7=12	13–18	0.97+0.93=1.9	0.57+0.33=0.90

В то же время для объединенного портфеля (λ=10) получим, например:

Итак:

0.9	1–11	12–14	0.39	0.39
0.95	1–11	12–15	0.53	0.53

И в этом случае преимущества большого портфеля очевидны (и по цене перестрахования, и по величине резерва), причем по мере повышения надежности эти преимущества становятся все рельефнее. В качестве самоконтроля рекомендуется проверить это для вероятности неразорения 0.99.