- •3. Более сложные задачи
- •3.1. Анализ поведения страховщика на страховом рынке
- •3.2. Пример комплексного решения основных актуарных задач (надбавка, начальный резерв, перестрахование, вероятность разорения)
- •3.3. Использование процедуры свертки
- •3.4. Объединение дискретных рисков
- •3.5. Однородные риски
- •3.6. Неоднородные риски
- •3.7. Особый случай
- •3.8. Использование отрицательного биномиального распределения при моделировании потока требований об оплате
3.3. Использование процедуры свертки
Рассмотрим применение свертки в актуарных расчетах.
Пример 32. Портфель из четырех одинаковых договоров, согласно которым возможна (условно) компенсация полного ущерба в 2 у.е. с вероятностью 0.1 или частичного ущерба в 1 у.е. с вероятностью 0.1.
Найти рисковую премию и нетто-премию в этом портфеле.
С рисковой премией трудностей не возникает. Ожидаемый ущерб равен: 2·0.1+1·0.1+0·0.8=0.3. Следовательно, страховщик соберет суммарную рисковую премию 1.2 , что позволит ему за счет взносов клиентов выплатить возмещение только для одного страхового случая с частичным ущербом.
Для оценки устойчивости этого страховщика следует оценить распределение суммарного ущерба по всем четырем договорам.
Есть 4 независимые одинаково распределенные случайные величины. При анализе будем последовательно переходить от одной величины к двум, затем от двух к трем, и т.д.
Итак, для двух величин возможны 9 различных вариантов:
|
X1=0 |
X1=1 |
X1=2 |
X2=0 |
0.64 |
0.08 |
0.08 |
X2=1 |
0.08 |
0.01 |
0.01 |
X2=2 |
0.08 |
0.01 |
0.01 |
Преобразуем эту таблицу в таблицу распределения новой случайной величины: X1+X2.
X1+X2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Р |
0.64 |
0.16 |
0.17 |
0.02 |
0.01 |
Теперь построим новую таблицу, добавив величину ХЗ.
Р3/Р(1+2) |
0.64 |
0.16 |
0.17 |
0.02 |
0.01 |
0.8 |
0.512 |
0.128 |
0.136 |
0.016 |
0.008 |
0.1 |
0.064 |
0.016 |
0.017 |
0.002 |
0.001 |
0.1 |
0.064 |
0.016 |
0.017 |
0.002 |
0.001 |
Поэтому для распределения X1+X2+Х3 имеем таблицу:
(k) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
P(k) |
0.512 |
0.192 |
0.216 |
0.049 |
0.027 |
0.003 |
0.001 |
Аналогично построим матрицу для присоединения Х4.
0.4096 |
0.1536 |
0.1728 |
0.0392 |
0.0216 |
0.0024 |
0.0008 |
0.0512 |
0.0192 |
0.0216 |
0.0049 |
0.0027 |
0.0003 |
0.0001 |
0.0152 |
0.0192 |
0.0216 |
0.0049 |
0.0027 |
0.0003 |
0.0001 |
Тогда распределение X1+X2+X3+X4 имеет вид:
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
.4096 |
0.2048 |
0.2432 |
0.0800 |
0.0481 |
0.0100 |
0.0038 |
0.0004 |
0.0001 |
Накопленная вероятность соответственно равна:
0.4096 |
0.6144 |
0.8576 |
0.9376 |
0.9857 |
0.9957 |
0.9995 |
0.9999 |
1.0 |
Отсюда видно, что при собранной суммарной рисковой премии 1.2 вероятность неразорения составит всего 0.6144 (менее 62%), что недопустимо мало. Следовательно, необходимо включить в премию еще и рисковую надбавку. Если страховщик соберет суммарные взносы в размере 3 у.е., то он обеспечит вероятность неразорения около 94%, что вполне приемлемо. Отметим, что если страховщик будет ориентироваться на вероятность и захочет обеспечить вероятность неразорения не ниже 90%, то ему потребуется собрать те же 3 у.е. Этот результат означает, что премия должна составлять не 0.3 у.е., а 3/4 = 0.75 у.е., что недопустимо много. Клиент не согласится столько платить.
Если клиент согласен платить не 0.3, а 0.5, то собранные премии позволяют обеспечить надежность более 85%, что уже близко к норме. Здесь рисковая надбавка составляет 2/3 от рисковой премии. Многовато! Это – следствие малого портфеля и довольно высокой вероятности.
Отметим, что этот же результат может быть получен с помощью другого аппарата, основанного на производящих функциях:
.
Совпадение производящих функций двух случайных величин означает совпадение распределений этих величин. Это следует из разложения в ряд Тейлора:
, P(n)=коэффициент при Zn.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины n с производящей функцией f(z) выражаются через производные этой производящей функции в точке 1.0: f'(l)=M(n), f"(l)=M[n2]–M[n]; D[n]=f"(l)+f'(l)–[f'(l)]2.
Производящая функция двух независимых случайных величин равна произведению их производящих функций.
Итак: f(z)=0.8·zo+0.1·z1+0.1·z2. Тогда для суммы: fl(z)·f2(z)·f3(z)·f4(z)=(f(z))4= =0.14·(8+z+z2)4=…=10(–4)·(4096+2048z+2432z2+800z3+481z4+100z5+38z6+4z7+z8).
Отбирая коэффициенты при степенях z, получаем искомые вероятности (те же самые, которые получили ранее!).