5.2 Теория Фаулера

Рассмотрим качественно механизм фотоэмиссии, что позволит выяснить те особенности, которые должна учитывать теория. В настоящее время отдают предпочтение трехступенчатой модели, рассматривающей процесс появления фотоэлектрона как последовательность трех этапов (рис.5.2.1).

1

Рис.5.2.1. Появление электрона в вакууме можно рассматривать как последовательное осуществление трех процессов: I – возбуждение электрона из начального состояние E_i в возбужденное E_f, II – движение к поверхности, III – преодоление барьера на поверхности.

.На первом этапе имеет место поглощение фотонов, в результате чего появляются электроны в состояниях с высокой энергией, в том числе и такие, которые имеют энергию выше энергии уровня вакуума.

2

Рис.5.2.2. Зависимость фотоэмиссионного тока от толщины фоточувствительного слоя при освещении его с тыльной стороны.

.На втором происходит движение возбужденного электрона к поверхности. Только часть из них движется в нужном направлении. Кроме того, электроны могут рассеяться и в результате потерять энергию. Это означает, что крайне важны процессы рассеяния, именно они определяют глубину выхода фотоэлектронов, т.е. расстояние от поверхности, после прохождения которого вследствие потерь энергии электроны теряют возможность преодолеть барьер на поверхности. В важности этого фактора можно убедиться следующим образом. На пластину, прозрачную для света наносят пленку фотокатода (рис.5.2.2). Если измерить зависимость тока фотоэмиссии от толщины пленки при освещении ее с тыльной стороны (со стороны подложки), то получится кривая с максимумом. Начальное нарастание связано с увеличением числа поглощенных в пленке квантов света. При очень большой толщине пленки весь свет поглощается в области, прилегающей к подложке. Образовавшиеся там фотоэлектроны при движении к наружной поверхности успевают раздать избыточную энергию и теряют тем самым возможность преодолеть потенциальный барьер, существующий на поверхности. Это и приводит к уменьшению фототока при дальнейшем увеличении толщины.

Рис.5.2.3. С увеличением толщины d металлической пленки максимум распределения фотоэлектронов по энергиям смещается в сторону меньших энергий.

О наличии рассеяния свидетельствуют и исследования распределения фотоэлектронов по энергиям. На рис.5.2.3 приведены N(E), полученные при эмиссии с пленок возрастающей толщины пленки d. По мере увеличения d максимум смещается от значения, близкого к E_max в сторону меньших энергий. Очевидно, что это результат рассеяния фотоэлектронов, выходящих из удаленной от поверхности области.

3. Третий этап - преодоление фотоэлектроном потенциального барьера и выход его в вакуум.

Как видно из приведенного рассмотрения, процесс чрезвычайно сложен. Строгая теория требует учета большого числа разнообразных факторов, часть из которых недостаточно изучена. Ее разработка ведется и в настоящее время. Однако, основные особенности внешнего фотоэффекта могут быть получены, используя упрощенную модель.

Фаулер сделал ряд предположений. Одним из главных является предположение, что для металла справедлива модель свободных электронов. Это достаточно сильное допущение. Легко показать, что свободные электроны не могут поглощать кванты света. Чтобы убедиться в этом, используем законы сохранения энергии и импульса. Пренебрегая релятивистской зависимостью массы от скорости, имеем:

(5.2.1)

где v_f и v_i – скорость электрона в конечном и начальном состоянии, соответственно, с – скорость света. После деления первого уравнения на второе получается физически неразумный результат: v_f + v_i= 2с. Поэтому, строго говоря, модель свободных электронов не пригодна. При описании процессов, связанных с возбуждением электронов квантами света, необходимо учитывать наличие связи (взаимодействие) между электронами и решеткой. Все же будем считать, что сделанное допущение возможно использовать.

Второе предположение, сделанное Фаулером, касается вероятности перехода электрона с уровня E_i на уровень E_i+h. Он предложил рассмотреть узкий интервал энергий, примыкающих к E_F и считать, что вероятность возбуждения электронов из этого интервала не зависит от энергии. Ширину такого интервала он определил следующим образом:

E

Рис.5.2.4. При освещении возникает группа электронов с повышенной энергии, имеющая распределение по энергиям аналогичное распределению в зоне проводимости.

_F  E  E_F - h₀ (5.2.2)

Это означает, что при освещении в металле возникает дополнительная группа электронов, имеющая такое же распределение электронов по энергиям, как и в зоне проводимости (Е), но смещенное по шкале энергий на величину h (рис.5.2.4). Конечно, концентрация электронов во второй группе зависит от интенсивности освещения и вероятности перехода в возбужденное состояние, она значительно меньше, чем у основной.

Третье предположение касается движения фотовозбужденного электрона по твердому телу. Фаулер предложил считать, что электроны, выходящие в вакуум, не испытывают столкновений и, следовательно, не имеют потерь энергии на пути движения к поверхности. Это означает, что в фотоэмиссии участвуют электроны, выходящие из приповерхностной области с шириной, равной длине свободного пробега фотоэлектрона. Зародившиеся в более глубоких слоях при рассеянии теряют сразу настолько большую энергию, что теряют возможность преодолеть потенциальный барьер на поверхности.

Наконец, четвертое - прозрачность барьера на поверхности полагается равной единице для электронов, имеющих энергию, превышающую E_vac, в противном случае она считается равной нулю. В действительности коэффициент отражения не может быть равен нулю. Внутри кристалла волновая функция фотоэлектрона является блоховской, в то время как в вакууме она описывается плоской волной. На границе раздела необходимо их «сшить». Эта операция может быть осуществлена только при предположении, что помимо падающей волны существует и отраженная, т.е. коэффициент отражения имеет ненулевое значение [469].

Используя эти предположения, можно написать выражение для величины потока электронов, падающих изнутри на поверхность и имеющих заданное значение энергии E_z, d_z. Число электронов с энергиями E_z+h...E_z+dE_z+h отличается от потока электронов с энергиями E_z...E_z+dE_z, выражение для которого было получено ранее (1.2.15), только некоторым коэффициентом С_ф, учитывающим вероятность возбуждения электрона и вероятность его рассеяния по пути к поверхности:

(5.2.3)

Вводя обозначение:

(5.2.4)

получаем:

(5.2.5)

Полный поток эмитированных фотоэлектронов получим интегрированием по всем энергиям с учетом коэффициента прозрачности потенциального барьера:

(5.2.6)

Будем считать, в соответствии с предположением Фаулера, что вероятность выхода фотоэлектронов, имеющих энергию выше уровня вакуума, равна единице, а в противном случае - ноль:

(5.2.7)

В результате для тока фотоэлектронов имеем:

(5.2.8)

Для упрощения записи положим:

(5.2.9)

где учтено, что у металлов E_F = -. Вводя новую переменную:

(5.2.10)

и учитывая (2.4.10) в результате получаем:

(5.2.11)

где f() – функция Фаулера, величина которой зависит только от .

Интеграл не берется в простых квадратурах, но может быть вычислен, используя таблицы определенных интегралов [3]. Его значение зависит от знака :

(5.2.12)

При =0 числовое значение обоих рядов одинаково и равно .

Нетрудно убедиться, что полученное выражение хорошо описывает экспериментальные факты. При T0 величина  становится бесконечно большой, а ее знак зависит от соотношения энергии кванта света и красной границы:

  - при h<h₀ (5.2.13а)

   при h>h₀ (5.2.13б)

Из (5.2.12) очевидно, что f()0 при h<h_0. Или, фотоэмиссия электронов невозможна, если частота света меньше ₀.

При h>h₀ имеем:

(5.2.14)

Подстановка этого выражения в (5.2.11) при Т дает:

(5.2.15)

Таким образом, теория Фаулера предсказывает квадратичную зависимость тока фотоэлектронов от ( - ₀), что и наблюдается при фотоэмиссии из металлов.

Если температура отличается от нулевой, то фотоэмиссия должна иметь место и при h<h₀. Из (5.2.11) и (5.2.12) следует:

(5.2.16)

В

Рис.5.2.5. Зависимости фототока от температуры при энергиях квантов близких к красной границе [U].

озможность фотоэмиссии при h < h₀ является следствием предположения Фаулера о поглощении фотона свободными электронами. При Т > 0 K появляется некоторое число электронов с энергией выше уровня Ферми.

Если h > h₀ температурная зависимость содержится в бесконечной сумме экспонент. Ясно, что это слагаемое может играть роль тогда, когда мала величина . При увеличении кванта света влияние температуры должно ослабевать. На рис.5.2.5 приведен ряд таких зависимостей. Видно, что экспериментальные результаты согласуются с этими предсказаниями. При ₀>300 Ǻ зависимости практически нет.

Наконец, о зависимости тока ФЭЭ от напряженности внешнего электрического поля. Наличие внешнего поля у эмиттера приводит к понижению потенциального барьера для электронов, как уже неоднократно отмечалось (1.5.4 и др.). Несомненно, это должно приводить к увеличению фототока. Если воспроизвести вывод уравнения Фаулера используя в качестве нижнего предела интегрирования в (5.2.8) величину максимума потенциального барьера, то, очевидно, придем к тому же выражению с тем лишь отличием, что вместо появляется:

(5.2.17)

Из этого следует, что внешнее электрическое поле смещает красную границу внешнего фотоэффекта в область более низких энергий квантов света. В случае низких температур, например, вместо (5.2.15) получаем:

(5.2.19)

или:

(5.2.20)

При  близкой к ₀ вторым членом можно пренебречь:

(5.2.21)

Т

Рис.5.2.6. Зависимости фототока от внешнего электрического поля.

.е. в области спектра, близкой к красной границе, фототок линейно зависит от напряженности внешнего электрического поля. При увеличении энергии фотонов зависимость ослабевает. Именно такое поведение наблюдается экспериментально. В качестве примера на рис.5.2.6 приведены полученные для ... результаты. При энергии квантов близких к красной границе хорошо выполняется линейная зависимость фототока от напряженности электрического поля. С увеличением энергии квантов зависимость ослабевает, а при >>₀ имеется обычная шоттковская зависимость. Только при очень высоких F. когда должны играть роль интерференционные эффекты, обсуждавшиеся выше (раздел 2.4), наблюдаются осциллирующие отклонения от шоттковской зависимости.

Разработанная Фаулером теория фотоэмиссии для металлов позволила предложить методы определения работы выхода. Казалось бы, наиболее простым способом является определение красной границы внешнего фотоэффекта. Однако, строго говоря, при T>0 красной границы не существует. Температурное размытие поверхности Ферми сказывается на величине ФЭЭ. Кроме того, при таких измерениях значение  окажется зависящим от точности измерения тока внешнего фотоэффекта.

Более точные методы определения  основаны на использовании (5.2.11), которое в случае металлов хорошо соответствует экспериментальным фактам. Самый широко распространенный метод заключается в измерении спектральной зависимости квантового выхода и экстраполяции результатов к нулевому току, используя соотношение (5.2.15).

Эта же задача может быть решена и несколько по-другому. Фаулер предложил определять работу выхода из измерений зависимости фототока от энергии фотонов при постоянной температуре - изотермический метод Фаулера. Для этого запишем (5.2.11) в следующем виде:

(5.2.22)

Последнее слагаемое может быть рассчитано теоретически и построено как функция аргумента  (рис.5.2.7). На том же графике построим экспериментально полученную зависимость фотоэлектронного тока в зависимости от . Последняя кривая смещена относительно () по оси ординат на величину и по оси абсцисс на . Поэтому, совместив обе зависимости, можно определить значение h₀. Основная трудность этого метода заключается в калибровке источника света. Естественно, величина фототока должна быть определена при одинаковом количестве квантов. Измерение величины потока фотонов монохроматического света представляет собой нетривиальную задачу.

В

Рис.5.2.7.Совмещение теоретической и экспериментальных зависимостей позволяет определить величину работы выхода.

видимой области калибровка может быть проведена с помощью пленочной термопары. Измеряется величина поглощенной энергии, которая пересчитывается на количество фотонов. В ультрафиолетовой области спектра можно использовать люминофоры – урановое стекло или салициловый натр, особенностью которых является пропорциональность интенсивности свечения числу квантов, независимо от их энергии.

Трудности калибровки источника света побудили Дюбриджа разработать другой метод - изохроматический. Его достоинством является возможность определения  с использованием света одной длины волны без измерения его интенсивности. Измеряется зависимость фототока от температуры. Воспользуемся опять-таки (5.2.11), но введем новую переменную:

(5.2.23)

Тогда можно записать уравнение для фототока следующим образом:

(5.2.24)

Ф

Рис.5.2.8. Зависимость функции Ф* от lnT

ункция *(x) может быть вычислена и имеет вид, приведенный на рис.5.2.8. Измерив зависимость i_ф от Т, можно на этом же графике построить зависимость от ln T. Если ФЭЭ описывается теорией Фаулера, то экспериментальная кривая оказывается смещенной относительно теоретической *(x) на величину, равную по оси ординат и на по оси абсцисс. Совмещение этих зависимостей для известного значения h позволяет определить работу выхода фотокатода.

Приведенные методы позволяют проводить измерения используя простые конструкции экспериментальных приборов. Помимо источника света и, естественно, фотокатода, достаточно иметь только коллектор фотоэлектронов. При этом на форму и размеры катода не накладывается никаких ограничений. Существуют более точные, но экспериментально значительно более сложные методы, основанные на измерении распределения фотоэлектронов по энергиям. Они будут рассмотрены ниже (раздел 5.6).