A). Критерии, основанные на известных вероятностях условий

Иногда неопределенность ситуации удается в некоторой степени ослабить. Это достигается нахождением вероятностей состояний на основе данных статических наблюдений.

Предположим, что вероятности состояний «природы» известны:

.

Тогда среднее значение (математическое ожидание) выигрыша , которое игрок 1 стремится максимизировать, определяется по формуле:

.

В качестве оптимальной стратегии выбирается та из стратегий , которая соответствует максимальному среднему значению выигрыша:

.

Оптимальную стратегию при известных состояниях «природы» можно найти, используя показатель риска. Для этого необходимо определить среднее значение риска:

.

Рис.1.

В качестве оптимальной стратегии в данном случае выбирается та, которая обеспечивает минимальное среднее значение риска:

.

Замечание. Применение критериев среднего выигрыша и среднего риска для одних в тех же исходных данных приводит к одному и тому результату.

Отметим еще одно важное положение, что когда известны вероятности состояний природы . игроку 1 нет смысла использовать смешанные стратегии.

Б). Критерии, основанные на субъективной основе

В случаях, когда объективные оценки состояний получить невозможно, оценки вероятности состояний природы могут быть сделаны на субъективной основе. В этом случае используются следующие принципы.

1. Принцип недостаточного основания Лапласа:

,

который применяется тогда, когда ни одного состояние природы нельзя предпочесть другому.

Для задачи о покупки банком валюты, принцип недостаточного основания Лапласа будет иметь следующий вид:

.

2. Убывающая арифметическая прогрессия:

Этот прием применяется, если можно расположить состояния «природы» в порядке убывания их правдоподобности (вероятности свершения);

Для нашей задачи получим:

3.Получение средних значений вероятностей состояний используя оценки группы экспертов.

Рассчитаем матрицу риска .

Получим:

В). Критерии крайнего пессимизма

Кроме, рассмотренных подходов к решению игр с «природой», субъективно назначенных вероятностей состояний «природы» существуют и другие подходы к нахождению оптимального решения в полной неопределенности, основанные на применении других критериев.

1. Нахождение оптимального решения в условиях полной неопределенности. Максиминный критерий Вальда - критерий крайнего пессимизма. В соответствии с критерием крайнего пессимизма в качестве оптимальной рекомендуется выбирать ту стратегию, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш, т.е. максиминную стратегию:

.

Оптимальной стратегии соответствует стратегия .

2. Критерий Сэвиджа или минимаксного риска, также как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма. Согласно этому критерию рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение:

что соответствует оптимальной стратегии .

3. Критерий Гурвица. Этот критерий называется критерием обобщенного максимума или пессимизма-оптимизма. Он имеет вид:

Очевидно, что при критерий Гурвица превращается в пессимистический критерий Вальда, а при - в критерий крайнего оптимизма. Коэффициент выбирается на основании субъективных соображений (опыта, здравого смысла и т.д.).

Если, например, взять:

, что соответствует стратегии .

Рассчитаем оптимальные стратегии на основе известных вероятностей «природы», валютного рынка:

1. Пусть , тогда

,

.

, что соответствует стратегии , а , что также соответствует стратегии .

2. Пусть тогда

Оптимальной стратегии соответствует .