- •Гармонический анализ
- •§1. Периодические функции.
- •Смотрите в лекции
- •§2. Гармонические колебания. Смотрите в лекции
- •§ 3. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Основные понятия. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2.
- •Ряд Фурье в виде простых гармоник. Спектры.
- •§ 4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций периода 2.
- •Решение:
- •§ 5. Сдвиг основного промежутка.
- •Решение:
- •§ 6. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ.
- •Решение:
- •Решение:
- •§ 7. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.
- •Решение:
- •§ 8. Разложение в ряд Фурье функций с “двойной симметрией”.
Решение:
Так как требуется разложить в ряд косинусов, то надо продолжить функцию четным образом, то есть ее график будет симметричен относительно оси (оу). На рисунке 7 изображен график полученной четной функции: на заданном интервале (0; ) – сплошной линией, на интервале (–; 0) – пунктиром .
Рис. 7.
Найдем коэффициенты Фурье по формулам (1.17)–(1.18):
= = = = 0
а n = = = =
= + nx dx = – = – (–1)n =
= [ 1 – (–1) n] =
а2n+1 = k =0,1,2, …
С
f(x) = – = .
§ 8. Разложение в ряд Фурье функций с “двойной симметрией”.
Опр. 14. Если функция f(x) периода 2ℓ четная или нечетная и удовлетворяет условию f(ℓ–x) = f(x), то говорят, что f(x) обладает двойной симметрией.
В этом случае, если f(x) – четная, то ее коэффициенты Фурье приобретают вид:
а2n= x ) cos dx; а2n+1 = 0 ( n = 0,1,2,…),
bn = 0 ( n = 0,1,2,…).
Если же f(x) – нечетная, то ее коэффициенты Фурье определяются так:
аn = 0 ( n = 0,1,2,…),
b2n = 0 , b2n+1 = x ) sin dx, ( n = 0,1,2,…).