Ряд Фурье в виде простых гармоник. Спектры.

Практически любую периодическую функцию можно разложить на простые гармоники с помощью тригонометрического ряда (ряда Фурье):

f(x) = + ( a_ncos nx + b_nsin nx ), (*)

Запишем данный ряд в виде суммы простых гармоник, полагая коэффициенты равными a_n= A_nsin_n , b_n= A_ncos_n . Получим: a_ncos _n + b_nsin_n = A_nsin( nx + _n ), где

A_n = , tg _n = . (**)

Тогда ряд (*)примет вид f(x) = .

Ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой хотя и бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенное дискретное значение.

Иногда n-ую гармонику записывают в виде a_ncos nx + b_nsin nx = A_ncos(nx – _n) , где a_n = A_ncos_n , b_n = A_n sin_{n .}

При этом A_n и _n определяются по формулам (**). Тогда ряд (*) примет вид

f(x) = .

Опр. 9. Операция представления периодической функции f(x) рядом Фурье называется гармоническим анализом.

Выражение (*) встречается и в другой, более употребительной форме:

Коэффициенты a_n, b_n определяются по формулам:

величина C₀ выражает среднее значение функции за период и называется постоянной составляющей, которая вычисляется по формуле:

В теории колебаний и спектрального анализа представление функции f(t) в ряд Фурье записывается в виде:

(***)

т.е. периодическая функция представлена суммой слагаемых, каждое из которых есть синусоидальное колебание с амплитудой С_n и начальной фазой _n, то есть ряд Фурье периодической функции состоит из отдельных гармоник с частотами, отличающимися друг от друга на постоянное число. Причем каждая гармоника имеет определенную амплитуду. Значения С_n и _n должны быть надлежащим образом подобраны для того, чтобы равенство (***) выполнялось, то есть определяются по формулам (**) [С_n = А_n].

Перепишем ряд Фурье (***) в виде где ₁ – основная частота. Отсюда можно сделать вывод: сложная периодическая функция f(t) определяется совокупностью величин С_n и _n .

Опр. 10. Совокупность величин С_n , то есть зависимость амплитуды от частоты, называется амплитудным спектром функции или спектром амплитуд.

Опр. 11. Совокупность величин _n носит название спектра фаз.

Когда говорят просто “спектр”, то подразумевают именно амплитудный спектр, в остальных случаях делают соответствующие оговорки. Периодическая функция имеет дискретный спектр (то есть она может быть представлена в виде отдельных гармоник).

Спектр периодической функции можно изобразить графически. Выберем для этого координаты С_n и  = n₁. Спектр будет изображен в этой системе координат совокупностью дискретных точек, т.к. каждому значению n₁ соответствует одно определенное значение С_n . График, состоящий из отдельных точек, неудобен. Поэтому принято изображать амплитуды отдельных гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины (рис. 2).

С_n

Рис. 2.

Этот дискретный спектр часто называют линейчатым. Он - гармонический спектр, т.е. состоит из равноотстоящих спектральных линий; частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях. Отдельные гармоники, в том числе первая, могут отсутствовать, т.е. амплитуды их могут равняться нулю, но это не нарушает гармоничности спектра.

Дискретные, или линейчатые, спектры могут принадлежать как периодическим, так и непериодическим функциям. В первом случае спектр обязательно гармонический.

Разложение в ряд Фурье может быть обобщено на случай непериодической функции. Для этого надо применить предельный переход при Т∞, рассматривая непериодическую функцию как предельный случай периодической при неограниченно возрастающем периоде. Вместо 1/Т введем круговую основную частоту ₁= 2/Т. Эта величина – есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны 2n/Т. Если Т  ∞, то ₁  d и 2n/Т  , где  – текущая частота, изменяющаяся непрерывно, d – ее приращение. При этом ряд Фурье перейдет в интеграл Фурье, который представляет собой разложение непериодической функции в бесконечном интервале (–∞;∞) на гармонические колебания, частоты которых  непрерывно меняются от 0 до ∞:

Непериодическая функция имеет непрерывный или сплошной спектры, т.е. вместо отдельных точек спектр изображается непрерывной кривой. Это получается в результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье: интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, линии сливаются, и вместо дискретных точек спектр изображается непрерывной последовательностью точек, т.е. непрерывной кривой. Функции a() и b() дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты .