18

Гармонический анализ

Введение.

Современное развитие техники предъявляет повышенные требования к математической подготовке инженеров. В результате постановки и исследования ряда конкретных проблем механики и физики возникла теория тригонометрических рядов. Важнейшую роль ряды Фурье играют во всех областях техники, опирающихся на теорию колебаний и теорию спектрального анализа. Например, в системах передачи данных для описания сигналов практическое применение спектральных представлений неизменно приводит к необходимости экспериментального осуществления разложения Фурье. Особенно велика роль тригонометрических рядов в электротехнике при изучении периодических несинусоидальных токов: амплитудный спектр функции находится с помощью ряда Фурье в комплексной форме. Для представления непериодических процессов применяется интеграл Фурье.

Тригонометрические ряды находят важное применение в многочисленных разделах математики и доставляют особенно удобные методы для решения трудных задач математической физики, например, задачи о колебании струны и задачи о распространении тепла в стержне.

§1. Периодические функции.

Многие задачи науки и техники связаны с периодическими функциями, отражающими циклические процессы.

Смотрите в лекции

Если f(x) имеет период Т, то интеграл этой функции, взятый в пределах, отличающихся на Т, не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т.е.

= .

§2. Гармонические колебания. Смотрите в лекции

Простое гармоническое колебание описывается функцией S = A sin(t+₀), где S–отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; A– амплитуда колебания, –круговая частота; t–время; ₀ –начальная фаза; Т = 2/ – период колебаний.

Опр.15. Функция Asin(t+₀) (и ее график) называется простой гармоникой.

Опр.16. Колебания, получающиеся в результате наложения нескольких простых гармонических колебаний, называется сложным гармоническими колебаниями.

Например, в случае наложения двух простых гармонических колебаний, получаем:

S = A₁sin(₁t + ₁) + A₂sin(₂t+ ₂ ).

Если ₁ = ₂ , то результирующее колебание будет снова простым гармоническим колебанием с той же частотой и тем же периодом.

Пусть ₁ ≠ _{2 .} Периоды простых колебаний равны Если существует такое число Т, что Т = r₁T₁, T = r₂T₂, то результирующее колебание будет периодическим (r₁, r₂ – целые числа). Отсюда вытекает, что

Следовательно, частоты ₁ и ₂ должны быть соизмеримы. Если частоты несоизмеримы, результирующее колебание не является периодическим. Если частоты соизмеримы, то можно положить ₁= r₁₁ , ₂= r₂₂.

Сложное колебание S = A₁sin(r₁t + ₁) + A₂sin(r₂t + ₂) будет периодическим с периодом Т = 2/. Пусть

S = A₁sin(r₁t2/Т + ₁) +A₂sin(r₂t2/Т+₂ )+...+A_nsin(r_nt2/Т +  _n ). (3.1 )

Частоты колебаний, из которых составляется сложное колебание (3.1), образуют гармоническую последовательность, т.е. частоты всех составляющих сложное колебание кратны основной частоте 1/Т. Колебание с частотой 1/Т называется первой гармоникой, с частотой 2/Т – второй и т.д.

Пусть  = 1, тогда Т = 2. К этому всегда можно прийти, изменив масштаб по оси t, т.е. положив t = t ^/. Суммы простых колебаний( = 1)

S = A₁sin(r₁t + ₁) + A₂sin(r₂t +  ₂ ) + ... + A_nsin(r_nt2/Т +  _n )

при различных значениях параметров А_k, _k и целых чисел r_k и n приводят к разнообразным периодическим функциям, т.е. наложение простых гармонических колебаний создает разнообразие периодических движений, отнюдь не похожие на простые гармонические колебания. Подобрать простые гармонические колебания так, чтобы их наложение вызвало заранее данное периодическое движение, то есть представить всякое периодическое движение как сложное гармоническое колебание, можно, если привлечь к рассмотрению бесконечные суммы простых гармоник: ряды.

Удобнее рассматривать представление периодических функций в виде тригонометрического ряда или его частичной суммы с достаточной степенью точности.

Следовательно, если требуется разложить на простые функцию с периодом 2π, необходимо, чтобы каждая из этих простых функций имела 2π в качестве одного из своих периодов, т.е. необходимо, чтобы ω = n, где n – целое.

Для решения ряда практических задач обычно требуется разложить сложную периодическую функцию на простые периодические функции вида

a cos ωx + b sin ωx,

имеющие период 2π / ω.