§ 4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций периода 2.

Опр. 12. Функция f(x) называется четной, если она не меняется при изменении знака ее аргумента, т.е. если f(–х) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси координат.

Опр. 13 Функция f(x) называется нечетной, если при изменении знака аргумента она меняет знак, но сохраняет абсолютную величину, т.е. если

f(–х) = – f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция может не быть ни четной, ни нечетной.

Теорема 5.

Произведение двух функций одинаковой (различной) четности четно (нечетно). Сумма четных функций – четная функция, нечетных функций – нечетная.

Лемма.

Верна формула .

Теорема 6.

Если f(x) четна, то . (1.15)

Если же f(x) нечетна, то . (1.16)

Пусть f(x) – четная функция, тогда ее коэффициент Фурье а₀ по формуле (1.15) может быть записан в виде

а₀ = . (1.17)

Поскольку произведение f(x) cos nx четно по теореме 5, то по той же формуле (1.15)

а_n = . (1.18)

b_n = 0, так как произведение f(x) sin nx нечетно по теореме 5 и к b_n применима формула (1.16). Отсюда следует

Теорема 7.

Ряд Фурье четной функции f(x) не содержит членов с синусами и имеет вид:

f(x) = + , (1.19)

причем его коэффициенты можно находить по упрощенным формулам (1.17), (1.18).

Таким же способом устанавливается

Теорема 8.

Ряд Фурье нечетной функции f(x) не содержит ни свободного члена, ни членов с косинусами и имеет вид:

b_n sin nx , (1.20)

где b_n = (1.21)

Пример 2.

Разложить в ряд Фурье функцию f(x), определенную равенством:

f(x) =  x  при – < x  .

Решение:

f (x) имеет период 2, удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье. f(–x) = f(x), т.е. она четная. (См. рис. 3.)

По формулам (1.17) и (1.18) найдем коэффициенты Фурье:

а₀ = = = ,

а_n = = = - dx =

= cos nx =  =

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f(x) = – (cos x + cos3x+ cos5x + ... + cos((2n+1)x) +...) =

= cos((2n+1)x).

На интервале [–; ] ряд сходится к функции  x  .

Пример 3.

Разложить в ряд Фурье функцию:

f(x)=

Решение:

f(x) имеет период 2. Она удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье.

f(–х) = – f(x) (см. рис. 4), т.е. f(x) – нечетна, следовательно а₀ = 0 и а_n= 0.

Рис. 4.

По формуле (1.21) найдем коэффициент Фурье:

b _n = sin nx dx = - cos nx = ( 1–(–1)ⁿ ) =

b_2k+1 = .

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f(x) = (sin x + sin x + sin x + ... + sin((2k+1)·x ) ), ( k = 0,1,2,... )

f(x) = sin (( 2k + 1) x).

На интервале [–; ] ряд сходится к функции f(x), в точках х = 0 и х =   – к нулю.

§ 5. Сдвиг основного промежутка.

Вся теория рядов Фурье излагалась для функций, заданных на отрезке [–; ], однако вместо этого отрезка можно было бы положить в основу рассуждения любой другой отрезок длины 2, так как 2 есть период всех функций системы 1, cos x, sin x, cos 2x, …, и справедлива

Теорема 9.

Если функция f(x) имеет период 2, то интеграл от числа а не зависит. Поэтому всю теорию можно перенести с отрезка [–; ] на любой отрезок [а, а+2].

Теорема 10.

Если f(x) дифференцируема на отрезке [0; 2], то всюду на открытом промежутке (0, 2) будет

f(x) = + , где

а₀ = , (1.22)

а_n= , (n=1,2,...); (1.23)

b_n= , (n=1,2,...); (1.24)

ряд сходится в точках x = 0, x = 2, где его сумма равна

( без доказательства)

Пример 4.

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на отрезке [0; 2].

Рис. 5.