- •Гармонический анализ
- •§1. Периодические функции.
- •Смотрите в лекции
- •§2. Гармонические колебания. Смотрите в лекции
- •§ 3. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Основные понятия. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2.
- •Ряд Фурье в виде простых гармоник. Спектры.
- •§ 4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций периода 2.
- •Решение:
- •§ 5. Сдвиг основного промежутка.
- •Решение:
- •§ 6. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ.
- •Решение:
- •Решение:
- •§ 7. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.
- •Решение:
- •§ 8. Разложение в ряд Фурье функций с “двойной симметрией”.
Решение:
График функции изобразим на рис. 5. Видно, что функция – разрывная. Найдем коэффициенты Фурье. Здесь
а0 = = ,
аn = , (n=1,2,...),
bn = .
Стало быть, при 0 < x < 2π будет
x = .
В точках x = 0 и x = 2 сумма S(x) ряда равна .
§ 6. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ.
Пусть функция f(x) задана и дифференцируема на отрезке [–l; l]. Положим φ(z) = .
Тогда φ(z) будет заданной и дифференцируемой уже на отрезке [–π; π].Значит к φ(z) применима теория, изложенная выше, поэтому при – π < z < π будет
φ(x) = + .
Положим в этом равенстве . Тогда для – l < x < l , то есть для функций с любым периодом 2ℓ разложение в ряд Фурье, когда оно возможно, и формулы для коэффициентов Фурье таковы:
f(x) = + cos + sin ), ( 1.25 )
где а0 = (x)dx; аn= x) cos dx; bn= x) sin dx (1.26)
Если f(x) – четная, то
, (1.27)
где а0 = (x)dx; аn= (x) cos dx . (1.28)
Если f(x) – нечетная, то
, (1.29)
где bn= (x) sin dx. (1.30)
Замечание. Можно от периода 2 перейти к периоду 2, произведя замену переменной по формуле х = или х/ = (x–l) и затем вычислять коэффициенты Фурье для 2 - периодических функций.
Пример 5.
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на интервале –2 х 2.
Решение:
Рис. 6
График функции f(x) = x изображен на рисунке 6. Видно, что функция нечетная с периодом 2ℓ = 4, то есть ℓ = 2. Найдем коэффициенты Фурье по формуле 1.30.
bn = dx = = – х cos dx =
= – cos n + = – cos n + sin n = – cos n =
=
Следовательно, по 1.29 разложение в ряд Фурье функции f(x) имеет вид:
f(x) = x = – + – ... = – .
Пример 6.
Р
f(x) =
Решение:
Воспользуемся замечанием. Произведем замену переменой х = , т.о. получаем функцию:
f
при 0 <
х
/
<
.
при -
<
х
/
0,
Найдем коэффициенты Фурье.
а 0 = dx / + dx / = 3/2.
an= cos nx / dx / + cos nx / dx / = =
= + = nx / dx / =
=
n
– четное
n
– нечетное.
bn = sin nx / dx / + sin nx / dx / = sin nx / dx / = – .
Следовательно,
f(x) = + cos[(2k+1)(x–1)] – sin[n(x–1)].
§ 7. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.
Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную на полупериоде, т.е. в интервале (0, p) или (0,l). В этом случае можно произвольно продолжить функцию f(x) на интервал (–,0) или (–l,0) но так, чтобы образовавшаяся в этом интервале новая функция F(x), совпадающая с f(x) в интервале (0, ) или (0,l), удовлетворяла условиям основной теоремы. Разложив F(x) в ряд Фурье на интервале (-, p) или (-l,l), получим искомый ряд, представляющий f(x) в интервале (0, p) или (0,l), и не имеет значения, что он в интервале (–,0) или (–l,0) представляет какую-то другую функцию, по существу не связанную с данной функцией f(x).
В частности, f(x) можно продолжить четно на интервал (–,0) или (–l,0), значит график f(x) надо продолжить симметрично относительно оси (оу). Тогда F(x) – четная функция, и ряд будет состоять только из косинусов.
Если f(x) продолжить нечетно на интервал (–,0) или (–l,0), значит график f(x) продолжить симметрично относительно начала координат, то F(x) будет нечетной, и ряд будет состоять только из синусов.
Т.е. можно составить сколько угодно сходящихся тригонометрических рядов, представляющих в интервале (0,) или (0,l) одну и ту же функцию, а в интервале (–,0) или (–l,0) самые разнообразные функции.
Функцию, заданную на полупериоде [0; ], можно разложить в ряд синусов или ряд косинусов, продолжая на второй полупериод соответственно нечетным или четным образом.
Пример 7.
Функцию f(x) = – разложить в ряд косинусов на интервале (0; ).