§ 1. События. Равенство событий. Сумма и произведение событий. Противоположные события.

Событием называется результат некоторого опыта.

Событие называется случайным, если в данном опыте оно может наступить, но может и не наступить.

Случайные события обозначаем А, В, С,…

Событие называется достоверным, если в данном опыте оно обязательно наступит. Достоверное событие обозначаем U. Событие называется невозможным, если в данном опыте оно наступить не может. Невозможное событие обозначаем V.

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем А Ì В.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

§ 2. Частота случайного события и «статистическое определение» вероятности

Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим себе, что это испытание произведено N раз и при этом событие А наступило в N_A случаях. Тогда отношение

называется частотой события А в данной серии испытаний.

Определение. Вероятностью случайного события А называется число р(А), около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.

§ 5. Классический способ подсчета вероятностей

Пусть W - конечное пространство элементарных событий А₁, А₂, …, А_n. В качестве борелевского поля событий рассмотрим систему S всех подмножеств множества W.

Ясно, что при этом аксиомы I и II выполняются. При классическом способе подсчета вероятностей все элементарные события считаются равновероятными. И так как р(А₁ + А₂ +… + А_n) = р(U) = 1, то р(А₁) = р(А₂) = … = р(А_n) = .

Если теперь А – произвольное событие и А = A_i1 + …+ A_im, то согласно аксиоме 2 имеем р(А) = .

События А₁, А₂, …, А_n принято называть элементарными исходами данного испытания, а те элементарные исходы, которые в сумме составляют событие А, называются благоприятными случаями для А. Количество благоприятных случаев для события А обозначим m(A). Таким образом, р(А) = , т.е. вероятность события А равна отношению числа благоприятных случаев для А к общему числу элементарных исходов испытания.

§ 6. Правила сложения и умножения вероятностей

Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

Правила сложения и умножения вероятностей:

если события А₁, А₂,…,А_n,… попарно несовместны, то справедливо равенство

р(А₁+ А₂,+…+ А_n +…) = р(А₁) + р(А₂) +…+ р(А_n)+... (1)

Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:

. (2)

Для произвольных событий А и В имеет место формула

р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ). (3)

Вероятность р(В/А) события В при условии наступления события А по определению равна:

. (4)

Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:

р(АВ) = р(А) р(В/А). (5)

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

р(А₁ А₂… А_n) = р(А₁) р(А₂ / A₁) p(A₃ / A₁A₂)+…+ р(А_n /A₁A₂…A_n-1) (6)

События А₁, А₂,… А_n называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Правило умножения вероятностей для n событий: если события А₁, А₂,… А_n независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

р(А₁ А₂… А_n) = р(А₁) р(А₂) … р(А_n). (7)

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

р(А₁ +А₂ +…+ А_n) = 1 - р (8)

В частности, если события А₁ ,А₂,…, А_n независимы, то

р(А₁ +А₂ +…+ А_n) = 1 - р =

1 – (1 – р(А₁))(1 – р(А₂))…(1 – р(А_n)). (9)