1.5. Короткопериодическое продольное возмущенное движение самолета

Для упрощения анализа возмущенного движения предполагают, что скорость полета постоянна и длиннопериодическое движение еще не развилось; исходным режимом движения является прямолинейный горизонтальный полет. Кроме того, полагают, что рули зажаты, режим работы двигателя постоянный, а внешние возмущения отсутствуют, т.е. возникновение возмущенного движения определяется начальными кинематическими возмущениями Δα и Δφ.

Так как в процессе короткопериодического движения скорость не успевает измениться (ΔV=0), то ограничиваются решением двух уравнений системы (4.6), которые с учетом сделанных допущений и ввиду малости члена уравнения можно записать в таком виде:

(4.13)

Характеристическое уравнение упрощенной системы имеет вид

Δ = = 0

или после раскрытия определителя:

(4.13, а)

где

Здесь Ω₀ – опорная частота, равная частоте колебаний системы при отсутствии демпфирования, ξ – декремент колебаний.

Решая уравнение (4.13,а), получим

Таким образом, быстрое движение состоит из апериодического, определяемого нулевым корнем, и колебательного движения с угловой частотой . В этом случае приращение угла атаки можно записать в виде

, (4.14)

где D_α, A_α, и ε_α– постоянные, определяемые начальными условиями;

- коэффициент затухания.

Так как возмущенное движение рассматривается после прекращения действия возмущающих сил, т.е. обусловлено начальным возмущением угла атаки, то А_α = 0.

Опорную частоту определяют, подставляя в формулу значения коэффициентов в соответствии с табл. 1 и выражениями для , , , и :

(4.15)

где , .

Из выражения (4.15) следует, что опорная частота Ω₀ зависит от степени продольной статической устойчивости самолета по перегрузке и коэффициента вращательной производной. С увеличением продольной статической устойчивости растет частота короткопериодического движения.

Формула (4.15) может быть записана по-другому, если принять во внимание, что

; ; ,

тогда ,

где ; .

Коэффициент σ_П называют коэффициентом устойчивости по перегузке.

Если самолет неустойчив по перегрузке ( > 0), то < 0. Это означает, что колебательное движение отсутствует и возмущенное движение складывается их двух апериодических, одно из которых с течением времени возрастает (р_i > 0) по экспоненциальному закону. Таким образом, продольное короткопериодическое движение существует только при наличии устойчивости самолета по перегрузке.

Величина коэффициента затухания h_K находится по формуле

или, подставляя значения коэффициентов из табл. 1:

(4.16)

Если коэффициент затухания h_K < 0, то с течением времени амплитуда колебаний затухает и короткопериодическое возмущенное движение является устойчивым. Из соотношения (4.16) видно, что затухание происходит вследствие демпфирования как вращательного (первое слагаемое в правой части), так и поступательного движений.

Демпфирование поступательного движения объясняется тем, что при изменении угла атаки в результате перемещения самолета в направлении, перпендикулярном скорости, возникает приращение подъемной силы , направленное против такого перемещения.

Если h_K = 0, то возмущенное движение представляет собой гармонические колебания. Если h_K > 0 (отсутствует демпфирование), то с течением времени амплитуда колебаний растет и, несмотря на наличие устойчивости по перегрузке ( >0), короткопериодическое движение становится неустойчивым. Следовательно, статическая устойчивость по перегрузке является необходимым, но недостаточным условием устойчивости короткопериодического движения.

При слабом затухании короткопериодического движения экипаж и пассажиры в течение длительного времени подвергаются перегрузкам, что утомляет экипаж и отрицательно сказывается на самочувствии пассажиров. Поэтому необходимо, чтобы колебательные движения быстро прекратились.

Для оценки качества короткопериодического движения применяется несколько критериев.

Наиболее распространенным критерием является промежуток времени t_0.5 (см. рис.4.4), в течение которого амплитуда колебаний

уменьшается вдвое: , откуда, логарифмируя, это выражение получим

t _0.5 = -ln2/h_k = -0.693/h_k (4.17)

Чем больше коэффициент затухания h_k, тем меньше времени потребуется на то, чтобы амплитуда уменьшилась вдвое.

Логарифмический декремент n равен логарифму отношения амплитуд, измеренных с интервалом времени, равном одному периоду T: ,

где Т - период колебаний . (4.18)

В качестве промежутка времени t₃, в течение которого колебания практически прекратились, принимается время уменьшения амплитуды в двадцать раз.

Аналогично формуле (4.17) получим t₃=(ln20)/h_k.

Разделив t₃ на период Т, получим число колебаний n₃ до полного затухания: . (4.19)

Для пассажирского самолета в целях обеспечения комфорта n₃ должно быть меньше трех (n₃<3). Это означает, что в отношении короткопериодического движения ставятся более жесткие требования, чем условия его устойчивости.

Изменения возмущений угла атаки и угла тангажа определяются выражением (4.14), отличаясь только значениями постоянных A,D и ε. Для Δα величина А_α = 0, а для Δφ величина А_φ≠0, т.е. после прекращения короткопериодического движения угол атаки восстанавливается до исходного значения, а угол тангажа оказывается отклоненным от исходного значения на величину Δφ_∞= А_φ (рис.4.5).

Возвращение угла атаки к первоначальному значению означает возвращение к равновесию моментов, но не к равновесию сил, поскольку Δφ≠0. Отсутствие равновесия сил является причиной возникновения длиннопериодического движения.