3.1. Экспоненциальное распределение
В исследованиях и практических расчетах надежности наибольшее использование нашли следующие распределения: экспоненциальное, Пуассона, Вейбулла, биноминальное, нормальное, равномерной плотности и некоторые другие.
Плотность вероятности случайной величины (времени появления отказа) в случае экспоненциального распределения имеет вид
(3.1)
где λ - постоянная интенсивность отказов («параметр распределения»). Функция этого распределения определяется зависимостью
Для
случая надежности вероятность отказа
изделия F(t)=
q(t),
а вероятность безотказной работы
Экспоненциальную функцию можно найти с помощью компьютера, калькулятора, или приближенно вычислить как сумму ряда
Прологарифмировав
(3.3) можно получить величину
,
при которой вероятность имеет заданное
значение р(х).
Имея
заданное значение p(t),
после
логарифмирования
находим
.
При P(t)>0,99 можно использовать приближенное равенство:
или
Для ряда законов распределения случайной величины процесс вычисления значения х довольно трудоемкий. Поэтому для| таких законов имеются таблицы квантилей.
Квантиль - это значение аргумента х, при котором вероятность случайной величины равна заданному (известному) значению. Так, если p(x)=F(x), то квантиль:
где
—
обратная функция от F(x).
Индекс р при хp указывает, что хp является квантилью. По| (3.4) или из таблиц квантилей может быть построена квантиль (рис. 3.1) как функция вероятности p(x).
p(x)
Рис. 3.1. Квантиль при экспоненциальном распределении времени безотказной работы
Математическое ожидание случайной величины для экспоненциального закона:
Дисперсия есть центральный момент второго порядка:
Для экспоненциального закона
Среднее квадратическое отклонение
При испытаниях N0 =100 невосстанавливаемых изделий в течение t1 = 1000 ч получено 18 отказов. Следует найти λ и T0.
Решение.
Областью приемлемости экспоненциального распределения являются наработка до отказа многих невосстанавливаемых изделий и наработка на отказ ряда восстанавливаемых изделий.
3.2. Распределение вейбулла
Плотность вероятности отказа при распределении Вейбулла имеет вид
Функция распределения:
где а и b - положительные постоянные.
Отсюда вероятность безотказной работы
Интенсивность отказов
Выражение для интенсивности отказов может быть определено и дифференцированием показателя экспоненты в (3.11), поскольку этот показатель есть
Среднее время безотказной работы
где
гамма-функция
от аргумента
Среднее квадратическое отклонение
Здесь коэффициент
(3.1
Значения
коэффициентов
и
находят
по таблицам [51].
При
b=1
получаются
и распределение Вейбулла вырождается
в экспоненциальное.
Зависимости f(t), λ(t), p(t) характерные для распределения Вейбулла при различных значениях показателя b у приведены на рис. 3.2.
Пример 3.2. Известно, что случайная наработка до отказа имеет распределение Вейбулла, где а = 1000 ч, b = 2.
Найти р(t = 300 ч).
Решение.
Из
(3.11):
t/a
=
300/1000 = 0,3; p(t=
300)
=
.
Рис. 3.2. Характеристики надежности, соответствующие распределению Вейбулла
Решение.
Из(3.11)
ln
p(t)=
;
,
или
t
=
*2000
= 22,4 ч.
Пример 3.4. Для распределения Вейбулла а = 5000 ч, b = 2.5. Найти наработку до p(t) = 0,95.
Объектами применения распределения Вейбулла являются подшипники качения, некоторые типы электронных ламп и полупроводниковых приборов.