Раздел I. Надежность авиационного оборудован

21

I

Г

Рис. 3.6. Равномерная плотность распределения случайной величины х

h 9

_P(t)Mt),f(t) А

Рис. 3.7. Вид функций p(t), l(t),f(t) при равномерном распределении случайной величины /

3.6. Логарифмически нормальное распределение и гамма-распределение

Логарифмически нормальное распределение. Распределение случайной величины Т называется логарифмически нормальным, если логарифм этой величины распределяется по! нормальному закону:

/(*)=—\т=е > (3-46)! с_х\12к

где x=lnt; х =\nt^ t_Q ^ величина Г, которая соответствует математическому ожиданию x_m.

Поскольку нормированное и центрированное распределение имеет вид

х1

2d

%(х) =

1

л/2я

то (3.46) можно записать так:

(3.47)

f{x) = -Up₀ о

х-х.„

(3.48)

Глава 3. Законы распределения, используемые в исследованиях и расчетах... 73

|де

Фо

х — х.

Л

Г Л2

л/271

Плотность вероятности случайной величины Т из (3.46) -(3.48) выразится в виде:

•

1

Л0=—Фо

о

X J

(3.49)

Функция распределения (вероятность появления события за время t)

Fit) =Ф₀

1

(3.50)

где Ф₀ (z)= — f e~°,5t dt - функция Лапласа. 2л *

Вероятность непоявления случайного события (отказа) находится из соотношения

p(t)=l-F(t). Интенсивность появления события (отказа)

А(0 =

1 л

/>(0

Математическое ожидание

Ы_л=Ы₀ + 0,"5а*. Среднее квадратическое отклонение величины t

U

(3.51)

m

-1.

(3.52)

Логарифмически нормальному закону распределения в ряде случаев соответствует распределение времени восстановления отказавших изделий АиРЭО.

74

Раздел I. Надежность авиационного оборудования.

Характер зависимостей/^) и А(У) для рассматриваемого зако на распределения приведен на рис. 3.8.

II OF I Рис 3.8. Показатели надежности при логарифмически нормальном распределении

1 -

О t

Гамма-распределение. Плотность гамма-распределения определяется соотношением

krf~l

(3.53)

/(0 =

-кг

Г(г)

где Г(г) = ^ иr le udu - гамма-функция.

0

В теории надежности используются целые значения показателя г > 1. При этом гамма-распределение (рис. 3.9) является распределением суммы г независимых случайных величин, каждая

из которых имеет показательное распределение с параметром—, где m_t - математическое ожидание случайной величины Г. '

Рис. 3.9. Показатели надежности при гамма-распределении

a)p(t),6)f(t),e)k(t)