Функция параболы 2-ого порядка.
Функция параболы 2-ого порядка имеет вид:
,
(13)
где - искомая переменная,
- исходная переменная,
-
коэффициенты. [25, с. 18]
Согласно методу
наименьших квадратов, для нахождения
коэффициентов
,
и
необходимо
решить систему уравнений:
,
(14)
где - искомая переменная,
- коэффициенты,
- длина ряда,
- исходная переменная. [25, с. 20]
В случае использования способа расчета от условного нуля коэффициенты параболы 2-ого порядка определяются по формулам:
,
(15)
где - коэффициент,
- исходная переменная,
- искомая переменная,
- длина ряда. [15, с. 256]
, (16)
где - коэффициент,
- исходная переменная,
- искомая переменная. [15, с. 257]
,
(17)
где - коэффициент,
- длина ряда,
- исходная переменная,
- искомая переменная. [15, с. 257]
Расчеты проведены в таблице 11.
Таблица 11. Расчет коэффициентов параболы 2-ого порядка.
yi |
ti |
ti2 |
ti4 |
yiti |
yiti2 |
y(ti) |
(y(ti)-yi)2 |
23.4 |
-4 |
16 |
256 |
-93.6 |
374.4 |
24.1 |
0.5 |
30.9 |
-3 |
9 |
81 |
-92.7 |
278.1 |
30.7 |
0.0 |
37.0 |
-2 |
4 |
16 |
-74 |
148 |
36.9 |
0.0 |
42.2 |
-1 |
1 |
1 |
-42.2 |
42.2 |
42.7 |
0.2 |
53.9 |
1 |
1 |
1 |
53.9 |
53.9 |
53.1 |
0.6 |
56.0 |
2 |
4 |
16 |
112 |
224 |
57.7 |
2.9 |
62.4 |
3 |
9 |
81 |
187.2 |
561.6 |
61.9 |
0.2 |
64.8 |
4 |
16 |
256 |
259.2 |
1036.8 |
65.7 |
0.8 |
=370.6 |
=0 |
=60 |
=708 |
=310 |
=2719 |
=373 |
=5.4 |
,
,
.
Следовательно,
уравнение прямой примет вид
.
Проверка правильности расчетов теоретических значений проводится при помощи следующего равенства (12):
и
.
Следовательно, расчеты сделаны верно.
Выбор оптимального типа модели
В случае существования нескольких конкурирующих зависимостей необходимо оценить степень близости каждой зависимости реальному процессу.
Для этого используют стандартную ошибку аппроксимации:
,
(18)
где
-
стандартная ошибка аппроксимации,
- искомая переменная,
- исходная переменная,
- длина ряда. [15,с. 254]
Стандартная ошибка аппроксимации для функции прямой составляет:
.
Стандартная ошибка аппроксимации для параболы 2-ого порядка составляет:
.
Анализируя полученные данные, можно сделать вывод о том, что наиболее точно описывает ряд динамики уравнение параболы 2-ого порядка: