3. Сдвиг. Кручение
Задание №1.
Стержень круглого
поперечного сечения диаметром d
работает на деформацию кручение.
Касательное напряжение в точке, которая
расположена на расстоянии
от оси стержня, равно
.
Наибольшее касательное напряжение в
данном поперечном сечении стержня
равно…
○ 4
● 2
○
○ 8
Решение: Эпюра распределения касательных напряжений в поперечном сечении имеет вид, показанный на рисунке.
Закон изменения
– линейный. Следовательно,
.
При решении задачи
также можно воспользоваться формулой
для определения касательного напряжения
в произвольной точке круглого поперечного
сечения:
,
где
– крутящий момент в данном сечении,
– полярный момент
инерции сечения,
– расстояние от оси стержня до точки, в которой определяется касательное напряжение.
На расстоянии имеем:
,
а на расстоянии
:
.
Задание №2.
Труба испытывает деформацию кручение.
Касательное
напряжение в точке С
поперечного сечения трубы равно 20 МПа.
Предел текучести материала трубы при
чистом сдвиге
.
Коэффициент запаса прочности
равен…
● 3
○ 6
○ 12
○ 0,33
Решение:
Максимальное касательное напряжение
возникает в точках у внешней поверхности
трубы и его значение в два раза больше
напряжения в точке С.
Поэтому коэффициент запаса прочности
.
Задание №3.
Закон Гука при сдвиге выражается зависимостью…
○
○
○
●
Решение:
Опытные данные показывают, что при
небольших напряжениях зависимость
между
и
линейная.
Этот факт выражает закон Гука при сдвиге: .
Задание №4.
Схема нагружения стержня показана на рисунке.
Длина L,
жесткость поперечного стержня на
кручение
,
– допускаемый угол поворота сечения С
заданы. Из расчета на жесткость максимально
допустимое значение параметра внешней
нагрузки М равно…
○
○
●
○
Решение:
Условие жесткости в данном случае имеет
вид
,
где
– действительный угол поворота
поперечного сечения С.
Строим эпюру крутящего момента (см. рисунок). Определяем действительный угол поворота сечения С.
.
Подставляем
выражение действительного угла поворота
в условиях жесткости:
,
откуда
.
Задание №5.
Стержень круглого сечения диаметром d нагружен, как показано на рисунке.
Модуль сдвига материала G, значение момента М, длина l заданы. Максимальное значение относительного угла закручивания равно…
○
○
●
○
Решение: Построим эпюру крутящих моментов.
При решении задачи
воспользуемся формулой для определения
относительного угла закручивания
стержня с круглым поперечным сечением:
.
Учитывая, что жесткость поперечного
сечения стержня
по длине постоянна, получим:
.
Задание №6.
Труба испытывает деформацию кручение. Эпюра распределения касательных напряжений в поперечном сечении трубы имеет вид…
●
●
○
○
Решение:
Касательные напряжения в круглом и
кольцевом сечениях определяются по
формуле
,
где
– расстояние от центра тяжести поперечного
сечения до точки, в которой определяется
касательное напряжение.
Зависимость
и
– линейная. Для кольцевого сечения
область изменения
лежит в пределах
,
где
и
– внутренний и наружный радиусы
поперечного сечения трубы. Поэтому
эпюра распределения касательных
напряжений имеет вид, показанный на
рисунке.
Задание №7.
Труба скручивается внешними моментами.
Квадрат abcd,
выделенный на поверхности трубы двумя
поперечными и двумя продольными осевыми
сечениями, трансформируется в ромб
.
Углом сдвига при этом является угол…
○
○
●
или
○
Решение: При деформации кручения на гранях элементарного объема действует только касательные напряжения (напряженное состояние – чистый сдвиг).
Если условно
закрепить грань ad,
то перемещение точки b
(отрезок
)
является абсолютным сдвигом. Отношение
называется углом сдвига или угловой
деформацией. Таким образом, углом сдвига
является угол
или
.
Задание №8.
Из расчета на срез
минимальная высота головки болта при
заданных значениях d
и
равна…
○
○
○
●
Решение:
При малой высоте головки болта происходит
ее срез по цилиндрической поверхности
диаметром d.
Примем, что касательные напряжения
постоянны по высоте h
головки:
,
тогда
.
Задание №9.
При увеличении
момента
в 2 раза наибольшие касательные напряжения…
○ увеличатся в 2 раза
○ увеличатся в 4 раза
● не изменятся
○ уменьшатся в 2 раза
Решение:
При увеличении момента
в 2 раза величина максимального крутящего
момента
не изменяется, поэтому
не изменятся.
Задание №10.
При расчете заклепки на срез величина площади среза равна…
●
○
○
○
Решение:
Площадь среза заклепки (в двух сечениях,
перпендикулярных оси):
.
Задание №11.
При деформации кручение угол взаимного поворота двух сечений к расстоянию между ними, называется…
○ углом сдвига
○ угловым перемещением
● относительным углом закручивания
○ депланацией поперечного сечения
Решение:
Выделим из стержня круглого сечения
элемент длиной dz.
Предположим, что под действием крутящего
момента правое сечение повернется на
угол
относительно левого.
Величина
обозначается обычно через
:
и называется относительным углом
закручивания. Этот угол взаимного
поворота двух сечений, отнесенный к
расстоянию между ними.
Задание №12.
Из условия жесткости
при заданных значениях
и G,
наименьший допускаемый диаметр вала
равен…
При решении принять
.
○
○
●
○
Решение:
Так как вал постоянного диаметра, условие
жесткости имеет вид:
,
где
.
Тогда
.
Задание №13.
Правило, согласно которому на взаимно перпендикулярных площадках элемента, выделенного из тела, касательные напряжения равны по величине и направлены к общему ребру (или от него), называют…
○ масштабным эффектом
○ законом Гука при сдвиге
● законом парности касательных напряжений
○ условием неразрывности деформаций
Решение: Выделим из тела бесконечно малый элемент с размерами dx, dy, dz. Предположим, что на двух гранях элемента возникают только касательные напряжения. Покажем данное напряженное состояние через плоский элемент.
Касательные напряжения, действующие по нижней грани элемента, образуют пару сил, которая вызывает вращение элемента. Поэтому на боковых гранях элемента возникают такие касательные напряжения, которые должны создавать пару сил противоположного направления. Из условий равновесия следует, что на взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине и направлены к общему ребру (или от него). Данное положение называется законом парности касательных напряжений.
Задание №14.
Ступенчатый стержень скручивается моментами М. Наибольшее касательное напряжение на участке диаметром d равно . Значение наибольшего касательного напряжения на участке с диаметром 2d равно…
●
○
○
○
Решение:
При определении максимального касательного
напряжения в поперечном сечении круглого
стержня диаметром d
воспользуемся формулой:
,
где
– крутящий момент в данном сечении,
– полярный момент
сопротивления, который определяется
по формуле:
.
На обоих участках
крутящие моменты одинаковы и равны М.
На участке диаметром d
имеем
.
На участке диаметром
2d получим
.
Задание №15.
Условие жесткости при кручении стержня круглого поперечного сечения, с неизменным по длине диаметром имеет вид…
○
○
●
○
Решение:
Валы машин и механизмов должны быть не
только прочными, но и достаточно жесткими.
В расчетах на жесткость ограничивается
величина максимального относительного
угла закручивания, которая определяется
по формуле:
.
Поэтому условие жесткости для вала (стержня, испытывающего деформацию кручения) с неизменным диаметром по длине имеет вид:
,
где
– допускаемый относительный угол
закручивания.