Завдання 14

Дослідити на збіжність наступні інтеграли.

.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.

Завдання 15

Дослідити на абсолютну і умовну збіжність інтеграли

.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.

§4. Інтеграли Ейлера: гама і бета функції

7. Гама і бета функції Ейлера.

Невластиві інтеграли

називають інтегралами Ейлера.

1. При інтеграли збігаються. Деякі наближені значення наведено у таблиці (див. додаток).

2. , .

Зокрема

3. 

Приклад 17. Знайти об’єм тіла обертання, яке утворюється при обертанні фігури, обмеженої астроїдою навколо осі Оу.

■ Зробимо схематичний рисунок (рис. 7)

.

При обчисленні інтеграла застосуємо формули:

.

У нашому випадку і інтеграл

.

Отже, ■

Приклад 18. Знайти площу фігури, обмеженої кривою

.

■ Зауважимо, що графік кривої симетричний відносно осей Ох і Оу, отже . Перейдемо до полярних координат: .

Отримуємо:

.

Тоді .

Застосуємо формули , ,

У нашому випадку , тому

. ■

Приклад 19. Довести, що інтеграл збігається і знайти його наближене значення .

■. Запишемо інтеграл у вигляді

.

Маємо За цих умов функція приймає скінченне значення. З іншої сторони зауважимо, що за теоремою порівняння ~ при . Для невластивий інтеграл першого роду збігається. Знайдемо наближене значення інтеграла

.

За таблицею для гама-функції (див. додаток) отримуємо:

; .

Отже . ■

Завдання 16

Довести збіжність наступних інтегралів і знайти їх наближені значення, користуючись таблицею гама–функцій.

.	.	.
.	.	.
.	.	.
.

Знайти площу фігури, обмеженої кривою

.	.
.	.
.	.

Знайти об’єм тіла, яке утворене обертанням фігури, обмеженої лінією

797. навколо осі Ох.

798. навколо осі Ох.

799. навколо осі Ох.

800. навколо осі Оу.

54