Завдання 13

Користуючись означенням і формулою Ньютона-Лейбніца знайти значення невластивого інтегралу

.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.

§ 3. Абсолютна і умовна збіжність невластивих інтегралів.

Всюди далі будемо розглядати

, ,

де – особлива точка інтеграла: при і , , маємо невластивий інтеграл першого роду, а при і , , де , отримуємо невластивий інтеграл другого роду.

У випадку невід’ємної підінтегральної функції для дослідження на збіжність використовуємо теорему порівняння. Якщо на проміжку інтегрування змінює знак, тоді можна застосувати теорему про абсолютну збіжність.

Означення (Абсолютна збіжність). Інтеграл називають збіжним абсолютно, якщо збігається інтеграл .

Теорема (про абсолютну збіжність). Якщо невластивий інтеграл збігається абсолютно, тоді він є збіжним.

Приклад 14. Дослідити на збіжність .

■ При функція змінює знак. Дослідимо інтеграл на абсолютну збіжність . Отже . Останній інтеграл, як інтеграл від додатної функції ( див. приклад 11) при , збігається, але тоді за теоремою порівняння інтеграл також збігається. Згідно з теоремою про абсолютну збіжність теж збігається.

Зауваження. Покажемо нижче, що не збігається абсолютно, але збігається.

Означення (умовна збіжність). Якщо невластивий інтеграл не збігається абсолютно, але збігається, тоді говорять, що він збігається умовно.

При дослідженні на умовну збіжність звичайно використовують теореми Діріхлє та Абеля.

Теорема (Діріхлє). Якщо для підінтегральних функцій невластивого інтеграла виконуються наступні умови:

1) ;

2) існує первісна функції , яка обмежена, тобто ;

3) ;

4) і не змінює знак на (тобто – локально монотонна), тоді збігається.

Теорема (Абеля). Якщо для підінтегральних функцій невластивого інтеграла виконуються наступні умови:

1) ;

2) збігається;

3) – обмежена на ;

4) і не змінює знак на ,

тоді збігається.

Приклад 15. Дослідити на збіжність інтеграли:

1) 2) 3) 4)

5) .

■1) При підінтегральна функція невід’ємна. Особлива точка інтеграла . Причому . Оскільки це невластивий інтеграл першого роду і , то згідно з теоремою порівняння досліджуваний інтеграл розбігається.

2) Невластивий інтеграл першого роду, оскільки . Особлива точка одна: .

, .

Досліджуваний інтеграл за теоремою порівняння збігається.

3) Невластивий інтеграл другого роду: особлива точка . Підінтегральна функція додатна при .

, .

Досліджуваний інтеграл за теоремою порівняння розбігається.

4) Невластивий інтеграл другого роду: – особлива точка. Підінтегральна функція при додатна.

, .

За теоремою порівняння досліджуваний інтеграл збігається.

5) Невластивий інтеграл першого роду: , особлива точка . При підінтегральна функція додатна. Оцінимо при . Інтеграл розбіжний, тоді за теоремою порівняння і досліджуваний інтеграл розбіжний. ■

Приклад 16. Дослідити на абсолютну і умовну збіжність інтеграли:

1) ; 2) 3) 4)

5) 6) .

■ 1) Дослідимо інтеграл на абсолютну збіжність: оцінимо для

є невластивим інтегралом першого роду з при , отже при (див. приклад 10) є розбіжним. Покажемо, що другий інтеграл є збіжним, тоді інтеграл буде розбіжним.

Таким чином не збігається абсолютно.

Процедура доведення збіжності така ж сама, що і доведення збіжності . Застосуємо до теорему Діріхлє, вибравши і . Перевіримо умови теореми:

1. ;

2. , яка обмежена: ;

3. ;

4. , тобто і не змінює знак.

Умови теореми Діріхлє виконуються, отже інтеграл збігається.

Таким чином інтеграл не збігається абсолютно, але збігається умовно.

2) Запишемо інтеграл у вигляді суми двох інтегралів

.

Перший є звичайним інтегралом Рімана, оскільки є усувна точка розриву: , отже він збіжний. Другий інтеграл є невластивим інтегралом першого роду з особливою точкою . Застосуємо теорему про абсолютну збіжність і оцінимо при

, .

За теоремою порівняння отримуємо, що з збіжності випливає абсолютна збіжність інтеграла від меншої функції. З абсолютної збіжності досліджуваного інтеграла випливає його збіжність.

4. Маємо невластивий інтеграл першого роду з особливою точкою . Запишемо його у вигляді суми двох інтегралів

.

Перший інтеграл є звичайним інтегралом Рімана, а отже, збіжним. Невластиві інтеграли і збігаються або розбігаються одночасно.

Дослідимо інтеграл на умовну збіжність, застосувавши теорему Діріхлє: покладемо , де . Первісна функції обмежена: ; функція монотонно спадає до нуля при і . Усі умови теореми виконуються, отже, інтеграл збігається умовно.

Дослідимо інтеграл на абсолютну збіжність. Оцінимо при

.

Функція і інтеграл розбігається ( ). Тоді за теоремою порівняння розбігається інтеграл . Другий інтеграл збігається умовно (дослідження на збіжність повторює дослідження інтеграла ). Згідно з теоремою порівняння інтеграл розбігається, тобто інтеграл не збігається абсолютно, але збігається умовно.

4) є невластивим інтегралом другого роду з особливою точкою . Оцінка не дає відповіді про збіжність інтеграла, оскільки інтеграл від більшої функції ( ) розбігається. Заміна змінної зводить інтеграл другого роду до невластивого інтегралу першого роду: .

До останнього інтеграла застосуємо теорему Діріхлє:

, первісна для і . Отже, інтеграл збігається.

Оцінимо для .

Оскільки , розбігається, а збігається, то досліджуваний інтеграл не збігається абсолютно. Отже, інтеграл збігається умовно.

5) є невластивим інтегралом першого роду з особливою точкою . Застосуємо теорему Діріхлє, вибравши , для і . Знайдемо за правилом Лопіталя границю

Покажемо, що монотонно спадає для : знайдемо . Зауважимо, що при : і тоді . Таким чином, монотонно спадає для , виконуються всі умови теореми Діріхлє, інтеграл збігається.

Дослідимо інтеграл на абсолютну збіжність: оцінимо

.

збігається (див. вище), а розбігається за теоремою порівняння: і розбігається, тому досліджуваний інтеграл не збігається абсолютно. Отже, інтеграл збігається умовно.

6) Особливими точками невластивого інтеграла

є і , тому запишемо інтеграл у вигляді суми двох інтегралів:

,

де –невластивий інтеграл другого роду, – першого роду.

І спосіб розв’язування. Дослідимо на збіжність : застосуємо формулу Маклорена з залишковим членом у формі Пеано і запишемо при

Зауваживши, що при , отримуємо

при .

Порівняємо з ( збігається: ):

.

Отже, для довільного малого існує окіл точки ( ), у якому вірна оцінка , ( при ). За теоремою порівняння для невід’ємних функцій зі збіжності випливає збіжність (абсолютна) .

Дослідимо на збіжність .

збігається умовно (див. приклад 9(3)). Інтеграл збігається абсолютно за теоремою порівняння, оскільки вірна оцінка і збігається.

Таким чином, досліджуваний інтеграл збігається умовно.

ІІ спосіб розв’язування. Обчислимо інтеграл зауваживши, що . Запишемо у вигляді суми двох інтегралів

Оскільки , (обмежена функція ділиться на нескінченно велику). Отже, інтеграл збігається.