§ 4. Криволінійні інтеграли першого роду (по довжині дуги) і їх застосування в задачах фізики.

Означення (гладкої дуги). Для простоти розглянемо плоску криву (дугу) Г, яку описує векторна функція . Побудуємо поділ .

Кожному значенню параметра відповідає точка . Знайдемо довжину ламаної, вписаної в Г:

.

Довжиною дуги Г називають , якщо , тоді Г називають спрямлюваною, а – її довжиною.

Дугу Г називають гладкою, якщо і для .

Теорема 1:

1. гладка дуга спрямлюється і , де ;

2. для гладкої незамкненої дуги ;

3. довжина гладкої дуги в малому еквівалентна довжині хорди, що її стягує.

Означення (параметризація гладкої дуги). Для гладкої дуги Г введемо новий параметр – довжина дуги від точки А ( ) до змінної точки М(t) ( ), – строго монотонно зростає на : , і . Параметр називають натуральним параметром.

Означення (криволінійного інтеграла першого роду).Розглянемо гладку криву Г: , для . Введемо натуральний параметр і побудуємо поділ

.

Кожному значенню параметра l на дузі Г відповідає точка. Позначимо через точку, яка відповідає значенню параметра .

Нехай на Г задано функцію . Побудуємо інтегральну суму . Якщо існує і не залежить від поділу , вибору точки і вибору прямування , тоді цю границю називають криволінійним інтегралом першого роду (по довжині дуги) і позначають .

Формули обчислення криволінійного інтеграла першого роду

1. Г задано параметрично: , для , на Г задано функцію , тоді

(1)

(У випадку плоскої кривої координата z відсутня (z = 0)).

2. Г задано явно: або – плоска крива. За умов , , тоді

(2)

3. Г – плоска крива, яку задано у полярній системі координат,

;

, тоді

(3)

Фізичні задачі, які приводять до обчислення криволінійного інтеграла першого роду

Задача 1. Маса дуги (заряд розподілений вздовж Г)

, (4)

де – густина маси (густина заряду: або ), яку задано у кожній точці .

Задача 2. Центр ваги плоскої дуги:

, , (5)

де – масса дуги , – густина маси у точці (якщо дуга однорідна, то вважають, що , тоді ).

Теореми Гульдіна:

1. .

2. , де – центр мас дуги Г, – масса дуги .

Задача 3. Для плоскої фігури

статичні моменти відносно осей Ох і Оу відповідно

, (6)

Задача 4. Для плоскої гладкої дуги Г статичні моменти відносно осей Ох і Оу відповідно

, (7),

моменти інерції відповідно осей Ох і Оу

, (8)

Задача 5. Центр ваги плоскої фігури (див. задачу 3)

, , де S – площа фігури (9)

Завдання 12

Знайти масу (заряд), розподілену вздовж дуги Г, якщо задана густина розподілу маси (заряду) ,

261. Г – відрізок прямої між точками А(0,0) та В(1,1), .

262. Г – верхня половина кола між точками А(а,0) та В(–а,0), , .

263. Г – дуга параболи між точками А(0,0) та В(4, ), .

264. Г – перша арка циклоїди , , .

265. Г – дуга кривої між точками, які відповідають , , .

266. Г – відрізок прямої між точками А(0,–2 ) та В(4,0), .

267. Г – контур прямокутника зі сторонами, які утворені прямими , .

268. Г – контур трикутника з вершинами у точках О(0,0), А(1,0) та В(0,1), .

269. Г – дуга гіперболічної спіралі від точки А( ) до В( ), .

270. Г – дуга циклоїди , між точками А( ) та В( ), .

271. Г – дуга кривої , між точками А( ) та В( ), .

272. Г – дуга логарифмічної спіралі , , яка лежить всередині кола , .

273. Г – дуга кривої між точками А( ) та В( ), .

274. Г – дуга спіралі , між точками А( ) та В( ), .

275. Г – коло , ,

276. Г – коло, що є перетином поверхонь , , , .

Знайти координати центра мас

277. однорідної дуги циклоїди , ;

278. однорідного півкола ;

279. однорідної дуги ланцюгової лінії , ;

280. однорідної дуги астроїди , , що лежить вище осі Ох.

Знайти статичний момент

281. верхньої частини еліпса , , відносно осі Ох;

282. дуги параболи , , відносно осі Ох;

283. дуги параболи , , відносно осі Оy;

284. дуги кривої , , відносно осі Ох;

285. фігури, обмеженої лініями , відносно осі Ох;

Знайти момент інерції

286. дуги кола , , відносно осі Оy;

287. дуги ланцюгової лінії , , відносно осі Ох;

288. дуги ланцюгової лінії , , відносно осі Оy;

289. користуючись теоремою Гульдіна, знайти центр мас дуги астроїди , ;

290. користуючись теоремою Гульдіна, знайти центр мас фігури, обмеженої віссю Ох і однією аркою циклоїди , .