- •Розділ і. Визначений інтеграл Рімана і його застосування § 1. Теоретичні питання
- •§ 2. Визначений інтеграл: означення, формула Ньютона–Лейбніца. Основні теореми і формули, які використовуються при розв’язанні задач
- •Завдання 1
- •Завдання 2
- •Формула Ньютона–Лейбніца (основна теорема інтегрального числення).
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •3. Застосування визначеного інтеграла в задачах з геометрії Основні формули, які використовуються при розв’язанні задач
- •1. Площа фігури.
- •3 . Довжина гладкої (неперервно-диференційовної) кривої г
- •Завдання 6
- •Завдання 7
- •Завдання 8
- •Завдання 9
- •Завдання 10
- •Завдання 11
Завдання 5
Обчислити наступні інтеграли
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Застосування визначеного інтеграла в задачах з геометрії Основні формули, які використовуються при розв’язанні задач
1. Площа фігури.
Криволінійною трапецією називають фігуру, обмежену відрізком [a, b] на осі Ох, відрізками прямих , , які можуть вироджуватися в точку і кривою, яку описує невід’ємна функція , . Її площа
.
У випадку і (рис. 1) площу фігури обчислюють за формулою
.
У полярній системі координат площу криволінійного сектора (рис. 2) обчислюють за формулою
.
x
У випадку параметрично заданої кривої площу криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою знаходять за формулою .
Площу фігури, обмеженої петлею (рис. 3) можна обчислити за однією з формул
2. Об’єм тіла
Об’єм тіла у випадку, коли відома площа поперечного перерізу тіла площиною, паралельною одній з координатних площин, наприклад при , дорівнює
.
Об’єм тіла обертання, утвореного при обертанні:
а) криволінійної трапеції навколо осі Ох
;
б) криволінійної трапеції
навколо осі Оу
;
в) криволінійного сектора (рис. 2) навколо полярної осі
.
3 . Довжина гладкої (неперервно-диференційовної) кривої г
(рис. 4) дорівнює .
1) Криву Г задано явно: ,
.
2) Криву Г задано параметрично:
.
Криву Г задано у полярних координатах: .
4. Площа поверхні тіла обертання (див. познач. у п. 2., 3.)
Приклад 7. Знайти площу фігури, обмеженої кривою та її асимптотою.
■ Пряма є вертикальною асимптотою графіка кривої. Область допустимих значень: .
Крива симетрична відносно осі Ох. Знайдемо .
Зробимо схематичний рисунок (рис. 5).
Отже, площа фігури
Застосуємо рекурентну формулу:
Враховуючи, що і отримуємо
. ■
Приклад 8. Знайти площу спільної частини фігур, обмежених лініями і .
■Знайдемо період функцій: .
Отже, досить зробити схематичний рисунок при .
Знайдемо декілька значень і занесемо їх до таблиці 1.
табл.1
-
0
4
2
4
1
3
1
Знайдемо точки перетину кривих:
.
Отже, площа фігури
. ■
Отже, площа фігури . ■
Приклад 9. Знайти об’єм тіла обертання, яке утворюється при обертанні фігури, обмеженої астроїдою навколо осі Оу.
■ Зробимо схематичний рисунок (рис. 7)
Згідно з В8 (§2, В8) маємо , тому
.■
Приклад 9. Знайти площу поверхні тіла обертання, яке утворюється при обертанні фігури, обмеженої однією аркою циклоїди і відрізком осі Ох: навколо осі Ох.
■ Зробимо схематичний рисунок (рис. 8).
y
t=π
Тоді .
Знайдемо
При , тоді і
. ■
Приклад 11. Знайти довжину петлі лінії .
■
y
t=+
Знайдемо, що при Якщо , то . При маємо . Знайдемо . Тоді .
Знайдемо .
Отримуємо: . ■