Метод хорд

Ідея методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому проміжку дуга кривої заміняється стягуючою її хордою. Шуканий корінь рівняння є абсциса точки перетину графіка функції з віссю Ох. Ця точка нам невідома, але замість її ми візьмемо точку перетину хорди АВ із віссю Ох.

Розглянемо випадок, коли перша і друга похідні мають однакові знаки, тобто (рис.1). Як нульове наближення кореня в даному випадку приймається ліва межа інтервалу ізольованого кореня, тобто .

Рисунок 1 – Метод хорд, у випадку коли мають однакові знаки

Перше, друге і інші наближення кореня знаходяться з формули, яка витікає з рівняння хорди. Рівняння хорди АВ записується як рівняння прямої, яка проходить через дві крапки з відомими координатами:

.

(2)

Значення , для якого , тобто точка перетину хорди з віссю абсцис розташовується ближче до точного значення кореня, ніж і визначається з виразу:

.

(3)

Обчислимо значення . Геометрично – довжина перпендикуляра до осі Ох, проведеного з точки до кривої . Якщо , то знайдено більш вузький інтервал існування кореня , оскільки знаки і збігаються. Тепер корінь знаходиться у середині відрізка . Якщо значення кореня не влаштовує, то його можна уточнити, застосовуючи метод хорд до відрізка , тобто побудувавши хорду А₁В, записавши її рівняння і визначаючи точку перетину хорди А₁В із віссю абсцис:

(4)

та інше.

1. Якщо мають місце варіанти I і II, тоді на відрізку , то наближені значення корінів знаходитимуться усередині відрізків , , , …, тобто нерухомим кінцем відрізка буде кінець , а наближені значення коренів будуть знаходитися за формулою:

,

(5)

при цьому (рис. 1).

2. Якщо мають місце варіанти III і IV, тоді на відрізку , то наближені значення коренів будуть знаходитися усередині відрізків , , …, тобто нерухомим кінцем відрізка буде кінець , а наближені значення коренів будуть знаходитися за формулою:

.

(6)

при цьому (рис. 2).

Рисунок 2 – Метод хорд, у випадку коли мають різні знаки

Вибір тих або інших формул можна здійснити, користуючись простим правилом: нерухомим кінцем відрізку є той, для якого знак функції співпадає із знаком другої похідної, а нульове наближення обирається відповідно до умови:

.

(7)

Процес послідовного наближення до корня слід продовжувати доти, поки не буде виконана умова , де ‑ задана точність; і – наближення, отримані на -му але -му кроках. При цьому уточнене значення кореня приймається рівним .

Метод Ньютона (метод дотичних)

Геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої дуги кривої дотичною, проведеною до деякої точки кривої, наприклад, крапки В (рис. 3). Точка перетину цієї дотичної з віссю абсцис дає перше наближення кореня .

Рівняння дотичної до кривої в крапці В має наступний вид:

.

(8)

Вважаючи, що , знаходимо абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю Ох:

.

(9)

Рисунок 3 – Ілюстрація методу Ньютона

Значення приймаємо як перше наближення кореня . У крапці визначаємо значення функції . Геометрично це довжина перпендикуляра до осі Ох, відновленого в до його перетину з кривою у точці В₁.

Процес продовжується таким чином: проведемо дотичну до точки В₁ і знайдемо точку перетину цієї дотичної з віссю абсцис . Крапку приймаємо як друге наближення кореня . Процес продовжується до тих пір, поки не буде одержане значення кореня із заданим ступенем точності. Будь-яке -ше наближення кореня визначається рівністю:

.

(10)

Вибір нульового наближення кореня здійснюється таким чином:

якщо на , то ;

якщо на , то .

Чим більше чисельне значення похідної в околі даного кореня, тим менша поправка, яку необхідно враховувати в -му наближенні. Тому метод Ньютона особливо зручно застосовувати тоді, коли в околі даного кореня графік функції має велику крутизну.

Якщо чисельне значення похідної біля кореня мале, то поправки будуть великими і процес уточнення кореня може виявитися тривалим. Якщо крива поблизу точки перетину з віссю Ох майже горизонтальна, то застосовувати метод Ньютона не рекомендується.

Точність наближення на -му кроці оцінюється таким чином: якщо , то .

Якщо похідна мало змінюється на відрізку , то для спрощення обчислень можна використовувати формулу:

,

(11)

тобто значення похідної в початковій точці достатньо обчислити один раз. Геометрично це означає, що дотичні в точках замінюються прямими, паралельними дотичній, яка проведена до кривої у точці (рис. 3).

Приклад.

Методом дотичних уточнити до корінь рівняння , який розташований на відрізку [-2.75; -2.5].