Розв’язок

Зведемо рівняння до вигляду . Це можна зробити таким чином:

1. , тоді ;

2. , тоді .

Визначимо, яку з отриманих функцій слід використовувати. Знаходимо:

Отже, можна використовувати функцію і шукати послідовні наближення за формулою:

.

Визначимо, якою повинна бути різниця між двома послідовними наближеннями:

Обчислення зручно вести за допомогою таблиці 3.

Таблиця 3

№ ітерації
0	0,75	0,42188	0,25547
1	0,2555	0,016777	0,154144
2	0,1541	0,000565	0,151413
3	0,1514	0,005443	0,151361
4	0,15136	0,005442	0,151361

Можна вважати, що .

Завдання для самостійної роботи

1. Відокремити корні рівняння графічно і уточнити їх методом хорд з точністю до 0,001.

2. Відокремити корінь рівняння аналітично і уточнити їх методом хорд з точністю до 0,001.

3. Відокремити корні рівняння графічно і уточнити їх методом дотичних з точністю до 0,001.

4. Відокремити корінь рівняння аналітично і уточнити їх методом дотичних з точністю до 0,001.

Варіант №	Функція для завдання 1,3	Функція для завдання 2,4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Лабораторна рОбота №5 Тема: Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь Теоретичні відомості

Звичайні диференційні рівняння (ЗДР) широко застосовуються для математичного моделювання процесів і явищ в різних галузях науки і техніки. Перехідні процеси в радіотехніці, кінетика хімічних реакцій, динаміка біологічних популяцій, рух космічних об'єктів, моделі економічного розвитку досліджуються за допомогою ЗДР.

До диференційного рівняння n-го порядку як невідомі величини входять функція та її перші n похідних по аргументу x:

.

(1)

Рівняння (1) еквівалентно системі n рівнянь першого порядку:

,

(2)

де k=1, 2., n.

Рівняння (1) і еквівалентна йому система (2) мають безліч розв’язків. Єдині розв’язки відокремлюють за допомогою додаткових умов, яким повинні задовольняти шукані розв’язки. Залежно від виду таких умов розглядають три типи задач, для яких доведено існування і єдність розв’язків.

Перший тип – це задачі Коші, або задачі з початковими умовами. Для таких задач окрім початкового рівняння (1) у будь-якій точці повинні бути задані початкові умови, тобто значення функції та її похідних:

..., .

Для системи ЗДР типу (2) початкові умови задаються у виді:

, , ... , .

(3)

До другого типу задач відносяться так звані граничні або крайові задачі, в яких додаткові умови задаються у виді функціональних співвідношень між шуканими розв’язками. Кількість початкових умов повинна співпадати з порядком n-го рівняння або системи. Якщо розв’язок задачі визначається в інтервалі , то такі умови можуть бути задані як на границях, так і в інтервалі. Мінімальний порядок ЗДР, для яких може бути сформульована гранична задача, дорівнює двом.

Третій тип задач для ЗДР – це задачі на власні значення. Такі задачі відрізняються тим, що окрім шуканих функцій та їх похідних до рівняння входять додатково m невідомих параметрів 1 2  які називаються власними значеннями Для єдності розв’язка на інтервалі необхідно задати m+n граничних умов Як приклад, можна назвати задачі визначення власних частот коефіцієнтів дисипації структури електромагнітних полів і механічних напружень в коливальних системах задачі знаходження фазових коефіцієнтів коефіцієнтів затухання тощо

Методи наближеного інтегрування диференційних рівнянь можна умовно поділити на три групи:

– аналітичні, які дозволяють одержати розв'язок у вигляді аналітичного виразу;

– графічні, які дають наближений розв'язок у вигляді графіка;

– чисельні, які дають наближений розв'язок у вигляді таблиці.

До чисельного розв'язання ЗДР приходиться звертатися коли не вдається побудувати аналітичний розв'язок задачі через відомі функції Хоча для деяких задач чисельні методи є більш ефективними, навіть при наявності аналітичних розв'язків