- •Поліном Лагранжа
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема: Апроксимація функцій Теоретичні відомості Емпіричні формули
- •Визначення параметрів емпіричної залежності
- •Метод найменших квадратів
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Розв’язок
- •Метод Сімпсона
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №3
- •Теоретичні відомості Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Метод Гаусса
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №4 Тема: Нелінійні рівняння Теоретичні відомості
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона (метод дотичних)
- •Розв’язок
- •Комбінований метод хорд і дотичних
- •Метод ітерацій або метод послідовних наближень
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №5 Тема: Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь Теоретичні відомості
- •Метод Ейлера
- •Модифікації методу Ейлера
- •Метод Рунге-Кутта
- •Завдання для самостійної роботи
- •Список літератури
Метод Гаусса-Зейделя
Одним з найпоширеніших ітераційних методів, який відрізняється простотою і легкістю програмування, є метод Гаусса-Зейделя.
Проілюструємо спочатку цей метод на прикладі розв’язання системи:
|
(8) |
Припустимо, що діагональні елементи відмінні від нуля (інакше можна переставити рівняння).
Виразимо невідомі відповідно з першого, другого і третього рівнянь системи (8):
. |
(9) |
. |
(10) |
. |
(11) |
Задамо деякі початкові (нульові) наближення значень невідомих: , :
. |
Використовуючи це значення для і наближення для знаходимо з (10) перше наближення для :
. |
І нарешті, використовуючи обчислені значення , , за допомогою виразу (11) обчислимо перше наближення для :
. |
На цьому закінчується перша ітерація розв’язання системи (9) – (11).
Використовуючи тепер значення можна таким чином провести другу ітерацію, в результаті якої будуть знайдені другі наближення до розв’язку , .
Наближення з номером можна обчислити, знаючи наближення з номером , наступним чином:
, , . |
Ітераційний процес продовжується до тих пір, доки значення не стануть близькими із заданою похибкою до значень .
Приклад.
Розв’язати за допомогою методу Гаусса-Зейделя наступну систему рівнянь:
|
Легко перевірити, що розв’язок даної системи наступний: .
Розв’язок
Виразимо невідомі відповідно з першого, другого і третього рівнянь:
, , . |
У якості початкового наближення (як це зазвичай робиться) приймемо :
, , . |
Аналогічно обчислимо наступні наближення:
, , . |
Ітераційний процес можна продовжувати до отримання малої різниці між значеннями невідомих в двох послідовних ітераціях.
Розглянемо тепер систему лінійних рівнянь з невідомими. Запишемо її у виді:
, ( ). |
Тут також будемо припускати, що всі діагональні елементи відрізняються від нуля. Тоді відповідно до методу Гаусса-Зейделя -е наближення до розв’язку можна представити у виді:
, ( ). |
(12) |
Ітераційний процес продовжується до тих пір, доки всі значення не стануть близькими до . Як критерій завершення ітерацій використовується одна з умов (13) – (15).
Якщо задана допустима похибка , то критерієм закінчення ітераційного процесу можна вважати одну з трьох нерівностей:
. |
(13) |
. |
(14) |
при . |
(15) |
Для збіжності ітераційного процесу (12) достатньо, щоб абсолютні величини діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи були не менші сум модулів всіх інших коефіцієнтів:
, ( ). |
(16) |
При цьому хоч би для одного рівняння нерівність повинна виконуватися строго. Ці умови є достатніми для збіжності методу, але вони не є необхідними, тобто для деяких систем ітерації сходяться і при порушенні умов (16).