ЗМІСТ

Лабораторна РОБОТА №1 4

Тема: Інтерполяція та екстраполювання функцій 4

Теоретичні відомості 4

Лінійна і квадратична інтерполяції 4

Поліном Лагранжа 5

Завдання для самостійної роботи 5

Тема: Апроксимація функцій 7

Теоретичні відомості 7

Емпіричні формули 7

Визначення параметрів емпіричної залежності 7

Метод найменших квадратів 8

Завдання для самостійної роботи 11

Лабораторна рОбота №2 13

Тема: Чисельне інтегрування 13

Теоретичні відомості 13

Методи прямокутників і трапецій 13

Метод Сімпсона 16

Завдання для самостійної роботи 18

Лабораторна рОбота №3 21

Тема: Системи лінійних рівнянь 21

Теоретичні відомості 21

Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь 21

Метод Гаусса 21

Метод Гаусса-Зейделя 24

Завдання для самостійної роботи 26

Лабораторна рОбота №4 31

Тема: Нелінійні рівняння 31

Теоретичні відомості 31

Метод хорд 32

Метод Ньютона (метод дотичних) 35

Комбінований метод хорд і дотичних 37

Метод ітерацій або метод послідовних наближень 38

Завдання для самостійної роботи 39

Лабораторна рОбота №5 41

Тема: Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь 41

Теоретичні відомості 41

Метод Ейлера 42

Модифікації методу Ейлера 44

Метод Рунге-Кутта 46

Завдання для самостійної роботи 48

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 50

Лабораторна РОБОТА №1

Тема: Інтерполяція та екстраполювання функцій

Теоретичні відомості

Лінійна і квадратична інтерполяції

Простим типом локальної інтерполяції, яку часто використовують, є лінійна (або кусочно-лінійна) інтерполяція. Вона полягає у тому, що задані точки з'єднуються прямолінійними відрізками і функція наближається ламаною з вершинами в даних точках.

Рівняння кожного відрізку ламаної в загальному випадку різне. Оскільки є інтервалів , то для кожного з них у якості рівняння інтерполяційного багаточлена використовується рівняння прямої, яка проходить через дві точки. Зокрема, для i-го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точки і наступному вигляді:

.

Звідси маємо:

, , , .

(1)

Отже, при використанні лінійної інтерполяції спочатку необхідно визначити інтервал, в який потрапляє значення аргументу , а потім підставити його у формулу (1) і знайти наближене значення функції в цій точці.

Розглянемо тепер випадок квадратичної інтерполяції, коли інтерполяційна функція на відрізку приймається як поліном другого ступеню. Таку інтерполяцію називають також параболічною:

,

(2)

Рівняння поліному другого ступеню (2) містить три невідомі коефіцієнти , для визначення яких необхідно мати три рівняння. Ними служать умови проходження параболи (2) через три точки , , . Ці умови можна записати у наступному виді:

(3)

Поліном Лагранжа

Перейдемо до випадку глобальної інтерполяції, тобто до побудови інтерполяційного багаточлена єдиного для всього відрізку . Шукатимемо інтерполяційний багаточлен у вигляді лінійної комбінації багаточленів ступеня :

.

(4)

При цьому необхідно, щоб кожен багаточлен дорівнював нулю у всіх вузлах інтерполяції, за винятком одного ( -го), де він повинен дорівнювати одиниці. Легко перевірити, що цим умовам при = 0 відповідає багаточлен виду:

.

(5)

Дійсно . При чисельник виразу (5) дорівнює нулю. По аналогії з (5) отримаємо:

, , ……………………………………………… , , .......................................................................... .

(6)

Підставляючи в (4) вирази (5), (6), знаходимо:

.

(7)

Формула (7) визначає інтерполяційний багаточлен Лагранжа.

Завдання для самостійної роботи

Знайти наближене значення функції при заданому значенні аргументу за допомогою інтерполяційного багаточлена Лагранжа, якщо функція задана:

1. у не рівновіддалених вузлах;

2. у рівновіддалених вузлах таблиці.

№ варіанту	№ таблиці			№ варіанту	№ таблиці
1	1	0,702	1,3832	16	4	0,665	0,1944
2	2	0,102	0,1264	17	5	0,774	0,2232
3	3	0,526	0,1521	18	6	0,332	1,4396
4	4	0,616	0,1838	19	1	0,736	1,3934
5	5	0,896	0,2121	20	2	0,203	0,1334
6	6	0,314	1,4179	21	3	0,552	0,1543
7	1	0,512	1,3926	22	4	0,537	0,1676
8	2	0,114	0,1315	23	5	0,955	0,2263
9	3	0,453	0,1611	24	6	0,275	1,4236
10	4	0,478	0,1875	25	1	0,608	0,3866
11	5	0,812	0,2165	26	2	0,154	0,1285
12	6	0,235	1,4258	27	3	0,436	0,1625
13	1	0,645	1,3862	28	4	0,673	0,2038
14	2	0,125	0,1232	29	5	0,715	0,2244
15	3	0,482	0,1662	30	6	0,186	1,4315

Таблиці до завдання 1

Таблиця 1	Таблиця 2	Таблиця 3
X Y 0,43 1,63597 0,48 1,73234 0,55 1,87686 0,62 2,03345 0,70 2,22846 0,75 2,35973	X Y 0,02 1,02316 0,08 1,09590 0,12 1,14725 0,17 1,21483 0,23 1,30120 0,30 0,40976	X Y 0,35 2,73951 0,4 2,300800,47 1,96864 0,51 1,78776 0,56 1,59502 0,64 1,34310
Таблиця 4	Таблиця 5	Таблиця 6
X Y 0,41 2,57418 0,46 2,32513 0,52 2,09336 0,60 1,86203 0,65 1,74926 0,72 1,62098	X Y 0,68 0,80866 0,70 0,89492 0,80 1,02964 0,88 1,20966 0,93 1,34087 0,99 1,52368	X Y 0,11 9,05421 0,15 6,61659 0,21 4,69170 0,29 3,35106 0,35 2,73951 0,40 2,36522

Таблиці до завдання 2

Таблиця 1	Таблиця 2	Таблиця 3
X Y 1,375 5,04192 1,380 5,17744 1,385 5,32016 4,390 5,47069 1,395 5,62968 1,400 5,89788	X Y 0,115 8,65729 0,120 8,29329 0,125 7,95829 1,130 7,64893 0,135 7,36235 0,140 7,09613	X Y 0,150 6,61659 0,155 6,39989 0,160 6,19658 0,165 6,00551 0,170 5,82558 0,175 5,65583
Таблиця 4	Таблиця 5	Таблиця 6
X Y 0,180 5,61543 0,185 5,46693 0,190 5,32634 0,195 5,19304 0,200 5,06649 0,205 4,94619	X Y 0,210 4,83170 0,215 4,72261 0,220 4,61855 0,225 4,51919 0,230 4,42422 0,235 4,33337	X Y 1,415 0,888551 1420 0,889599 1,425 0,890637 1,430 0,891667 1,435 0,892687 1,440 0,893698