- •Электромагнетизм Сборник задач по физике
- •1. Постоянное магнитное поле в вакууме
- •1.1. Закон Био-Савара-Лапласа, его применение к расчету магнитных полей. Закон полного тока. Магнитное поле соленоида и тороида
- •1.2. Магнитный момент. Магнитный поток. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
- •2.1. Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле
- •2.2. Действие магнитного поля на проводник с током. Сила Ампера. Контур с током в магнитном поле
- •3. Магнитное поле в веществе
- •4. Явление электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла
- •4.1. Закон электромагнитной индукции. Самоиндукция. Индуктивность
- •4.2. Взаимная индукция. Энергия магнитного поля. Уравнения Максвелла
- •Основные физические постоянные
- •Зависимость между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля железа
- •Основные физические постоянные
4. Явление электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла
4.1. Закон электромагнитной индукции. Самоиндукция. Индуктивность
Основные формулы
Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):
, (39)
где – эдс индукции; – полный магнитный поток (потокосцепление).
Магнитный поток, создаваемый током в контуре,
, (40)
где – индуктивность контура; – сила тока.
Закон Фарадея применительно к самоиндукции
. (41)
эдс индукции, возникающая при вращении рамки с током в магнитном поле,
, (42)
где – индукция магнитного поля; – площадь рамки; – угловая скорость вращения.
Индуктивность соленоида
, (43)
где – магнитная постоянная; – магнитная проницаемость вещества; – число витков соленоида; – площадь сечения витка; – длина соленоида.
Сила тока при размыкании цепи
, (44)
где – установившаяся в цепи сила тока; – индуктивность контура, – сопротивление контура; – время размыкания.
Сила тока при замыкании цепи
. (45)
Время релаксации
. (46)
Методические рекомендации
1. Формула (39) позволяет определить мгновенное значение эдс индукции. Знак «минус» объясняется правилом Ленца: индукционный ток всегда направлен так, что своим магнитным полем, он противодействует изменению магнитного потока, породившего этот ток.
В случае если магнитный поток сквозь контур меняется монотонно, т. е. увеличивается или уменьшается равномерно, формулу (41) можно записать так: . В случае если магнитный поток изменяется неравномерно, то этой формулой можно воспользоваться для определения средней эдс индукции.
2. Если контур, в котором возникает эдс индукции замкнут, то в нём течет индукционный ток, определяемый по закону Ома, , где – сопротивление контура.
3. На концах проводника, движущегося в магнитном поле со скоростью , возникает разность потенциалов. Эта разность потенциалов обусловлена явлением электромагнитной индукции и равна эдс индукции, возникающей в проводнике ,
где – индукция магнитного поля, – скорость движения проводника; – длина проводника; – угол между векторами и .
4. Если в контуре течет равномерно изменяющийся ток, то в нём возникает эдс самоиндукции, которую можно определить по формуле , где – изменение тока за время .
5. Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по формуле (43) для определения магнитной проницаемости (если она не дана в условии задачи) следует пользоваться графиком зависимости от (прил. 1), а затем формулой .
Примеры решения задач
Пример 1.
Магнитное поле изменяется по закону , где = 15 мТл, . В магнитное поле помещен круговой проводящий виток радиусом = 20 см под углом к направлению поля (в начальный момент времени). Найти эдс индукции, возникающую в витке в момент времени = 5 с.
Решение
По закону электромагнитной индукции возникающая в витке эдс индукции , где – магнитный поток, сцепленный в витке.
,
где – площадь витка, ; – угол между направлением вектора магнитной индукции и нормалью к контуру: .
.
Подставим числовые значения: = 15 мТл, , = 20 см = = 0,2 м, .
Вычисления дают .
Пример 2 В однородном магнитном поле с индукцией = 0,2 Тл расположена прямоугольная рамка, подвижная сторона которой длиной = 0,2 м перемещается со скоростью = 25 м/с перпендикулярно линиям индукции поля (рис. 42). Определить эдс индукции, возникающую в контуре. Решение При движении проводника АВ в магнитном поле площадь рамки увеличивается, следовательно, возрастает магнитный поток сквозь рамку и возникает эдс индукции. |
|
По закону Фарадея , где , тогда , но , поэтому .
Так, .
Знак «–» показывает, что эдс индукции и индукционный ток направлены против часовой стрелки.
Пример 3
В однородном магнитном поле индукцией = 200 мТл находится круговой виток диаметром = 8 см, изготовленный из медного проводника диаметром = 0,5 мм. Плоскость витка перпендикулярна магнитным линиям. Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника, если индукция магнитного поля равномерно уменьшится до = 0? Удельное сопротивление меди .
Решение
При изменении магнитной индукции от значении до 0 изменяется магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную круговым витком, в нём возникает индукционный ток. По закону Ома
,
где – эдс индукции; – сопротивление контура.
По определению сила тока находится по формуле => .
По закону Фарадея (поток меняется равномерно),
следовательно, .
Изменение магнитного потока , где , , так как ; – площадь витка; – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции.
По условию , .
Получаем .
Сопротивление проводника .
Площадь сечения проводника , длина проводника , поэтому , тогда для получаем
.
Подставим числовые значения:
= 200 мТл = 0,2 Тл, = 8 см = 8∙10–2 м, d = 0,5 мм = 5∙10–4 м, .
Вычисления дают .
Пример 4
Проводящий стержень длиной = 1м равномерно вращается в горизонтальной плоскости с частотой вокруг вертикальной оси, проходящей через конец стержня (рис. 43). Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли = 50 мкТл. Найти разность потенциалов , возникающую на концах стержня.
Решение
При повороте на угол проводник описывает площадь , при этом он пересекает линий магнитной индукции, т. е. магнитный поток , где – вертикальная составляющая вектора магнитной индукции. Разность потенциалов на концах проводника , |
|
учитывая, что – угловая скорость, .
Получаем окончательную формулу
.
Подстановка числовых данных: , = 1м, Тл дает следующий результат: мВ.
Пример 5
Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из медной проволоки радиусом 0,15 мм и площадью поперечного сечения 3 мм2 имеет длину 0,5 м. Сопротивление обмотки 10 Ом. Определите индуктивность соленоида. Удельное сопротивление меди 17 нОм∙м.
Решение
Индуктивность соленоида определяется по формуле
, (а)
где – магнитная постоянная; – магнитная проницаемость среды; = 1 (соленоид без сердечника); – число витков; – длина соленоида; – площадь сечения витка.
Сопротивление обмотки
, (б)
где – длина провода, – площадь сечения провода.
Выразим длину провода
. (в)
С другой стороны,
, (г)
где – длина одного витка,
следовательно,
, (д)
откуда следует
. (е)
Площадь сечения витка соленоида равна
(ж)
Подставим (е) и (ж) в формулу (а):
.
Пример 6 Резистор сопротивлением присоединён к верхним кольцам двух вертикальных медных стержней, отстоящих на расстоянии друг от друга. Стержни замкнуты медной перемычкой массы , которая может без трения скользить по ним (рис. 44). Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией , перпендикулярной плоскости, в которой расположены стержни. Перемычка начинает падать без нарушения электрического контакта. Найти установившуюся скорость перемычки. Принять индуктивность единицы длины системы стержней равной . |
|
Решение
При падении перемычки увеличивается площадь контура и возрастает магнитный поток, следовательно, возникает эдс индукции и индукционный ток.
На движущийся проводник в магнитном поле действует сила Ампера: , где – индукция поля; – длина перемычки; – сила тока, – угол между направлением тока и вектором . По условию ( ), значит, .
Согласно правилу Ленца ток направлен от к , следовательно, сила Ампера направлена вверх, противоположно силе тяжести .
С ростом скорости увеличивается эдс индукции, индукционный ток и сила Ампера. Скорость перестанет возрастать при условии: , т. е.
. (а)
По закону Ома , где , – эдс индукции, возникающая при изменении магнитного потока вектора сквозь контур ; – эдс самоиндукции, возникающая при изменении сквозь контур магнитного потока, созданного индукционным током.
, где – переменная величина, – длина вертикальных стержней, измеренная на участке, по которому течет ток.
Тогда , если = const, то , поэтому .
; (б)
, откуда следует
. (в)
Из (а) и (в) получаем , откуда .
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти площадь поперечного сечения катушки, содержащей 100 витков, в которой при уменьшении индукции однородного магнитного поля от = 0,5 Тл до = 0,1 Тл в течение = 2 мс возникает эдс индукции = 8 В. Магнитные силовые линии параллельны оси катушки.
(Ответ: ).
2. Круговой контур диаметром = 8 см пересекает магнитный поток, создаваемый однородным магнитным полем. Магнитные силовые линии перпендикулярны плоскости контура. Чему равна напряженность вихревого эл.поля, возникающего в контуре при равномерном уменьшении магнитного потока с = 20 мВб до = 2 мВб за = 5 мс?
(Ответ: =14,3В/м).
3. Рамка площадью равномерно вращается с частотой относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям однородного магнитного поля ( = 0,2 Тл). Каково среднее значение эдс индукции за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменяется до нуля?
(Ответ: = 0,16 В).
4. Проволочный виток радиусом 2 см пронизывается однородным магнитным полем, линии индукции которого перпендикулярны плоскости витка. Сопротивление витка 1,5 мОм. Индукция магнитного поля изменяется с постоянной скоростью 0,05 Тл/с. Какое количество теплоты выделится в витке за 30 с?
(Ответ: = Дж).
5. Квадратная рамка со стороной 10 см помещена в магнитное поле, индукция которого изменяется с течением времени по закону . Плоскость рамки перпендикулярна магнитным линиям. Определить мгновенное значение эдс индукции в рамке в момент времени 1с.
(Ответ: =0,157 В).
6. Металлическое кольцо диаметром равномерно вращается с частотой в однородном магнитном поле индукцией . При этом ось вращения кольца совпадает с его диаметром и перпендикулярна линиям вектора . К кольцу присоединены контакты, замкнутые на реостат сопротивлением . Определить максимальную эдс индукции , наводимую в кольце.
(Ответ: ).
7. Круговой проводящий контур площадью 200 см2 расположен в однородном магнитном поле индукцией 1 Тл так, что его плоскость перпендикулярна магнитным линиям. Сопротивление проводника, из которого сделан контур, 10 Ом. При повороте контура через поперечное сечение его проводника прошел заряд 4 мКл. На какой угол повернули контур?
(Ответ: ).
8. При изменении магнитного потока за 6 мс с 10 до 2 мВб в катушке с числом витков равным 100 возникло вихревое электрическое поле напряженностью 8 В/м. Найти радиус витка соленоида.
(Ответ: 2,7 см).
9. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1Тл, равномерно вращается катушка, состоящая из 100 витков проволоки. Катушка делает 5 об/с. Площадь поперечного сечения катушки 100 см2. Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Найти максимальную эдс индукции во вращающейся катушке.
(Ответ: ).
10. Горизонтальный стержень длиной 1 м вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Ось вращения параллельна силовым линиям магнитного поля, индукция которого равна 50 мкТл. Разность потенциалов на концах этого стержня равна 1 мВ. Определить частоту вращения стержня.
(Ответ: 6,4 об/с).
11. Рамка площадью содержит витков провода сопротивлением = 12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление = 20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле, индукция которого = 0,1 Тл, с частотой . Определить максимальную мощность переменного тока в цепи.
(Ответ: 79 Вт).
12. Короткая катушка, содержащая = 1000 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией = 0,04 Тл с угловой скоростью = 5 рад/с относительно оси, совпадающей с диаметром катушки и перпендикулярной линиям индукции поля. Определить мгновенное значение эдс индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол с линиями индукции поля. Площадь катушки равна 100 см2.
(Ответ: ).
13. На соленоид длиной 144 см и диаметром 5 см надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет 2000 витков и по ней течет ток 2 А. Соленоид имеет железный сердечник. Какая средняя эдс индуцируется в надетом на соленоиде витке, когда ток в соленоиде выключается в течение 0,002 с?
(Ответ: = 1,57 В).
14. Однослойная обмотка катушки имеет индуктивность 0,001 Гн. Диаметр катушки 4 см, диаметр проволоки 0,6 мм. Из какого числа витков проволоки состоит обмотка катушки?
(Ответ: 380 витков).
15. Между полюсами электромагнита помещена катушка, соединенная с баллистическим гальванометром. Ось катушки параллельна линиям индукции. Катушка сопротивлением = 4 Ом имеет = 15 витков площадью . Сопротивление гальванометра равно 46 Ом. Когда ток в обмотке электромагнита выключается, по цепи гальванометра проходит заряд = 90 мкКл. Вычислить магнитную индукцию поля электромагнита.
(Ответ: = 1,5Тл).
16. Тонкий медный провод массой = 1 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле ( = 0,1 Тл) так, что плоскость перпендикулярна линиям индукции поля. Определить заряд, проходящий по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. Плотность меди , её удельное сопротивление .
(Ответ: ).
17. По длинному проводу течет ток. Вблизи провода расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением = 0,02 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум её сторонам, расстояния до которых от провода соответственно равны = 10 см, = 20 см. Найти силу тока в проводе, если при его включении через рамку прошел заряд = 693 мкКл.
(Ответ: ).
18. Индуктивность катушки равна 2 мГн. Ток частотой 50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Определить среднюю эдс самоиндукции, возникающую за интервал времени , в течение которого ток в катушке изменяется от минимального до максимального значения. Амплитудное значение силы тока = 10 А.
(Ответ: = 4 В).
19. Индуктивность соленоида длиной 1 м, намотанного в один слой на магнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь сечения соленоида равна 20 см2. Определить число витков на каждом сантиметре длины соленоида.
(Ответ: = 8 см-1).
20. Сколько витков проволоки диаметром = 0,4 мм с изоляцией ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром = 2 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью = 1 мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу.
(Ответ: ).
21. Определить индуктивность двухпроводной линии на участке длиной = 1 км. Радиус провода равен 1 мм, расстояние между осевыми линиями равно 0,4 м (учесть только внутренний магнитный поток, т. е. поток, пронизывающий контур, ограниченный проводами).
(Ответ: = 2,4 мГн).
22. Катушка с железным сердечником имеет площадь поперечного сечения 20 см2 и число витков равно 500. Индуктивность катушки с сердечником равна 0,28 Гн при силе тока через обмотку в 5 А. Найти магнитную проницаемость железного сердечника в этих условиях.
(Ответ: = 1400).
23. Имеется катушка, индуктивность которой 0,2 Гн и сопротивление 1,64 Ом. Найти, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через 0,05 с после того, как эдс выключена и катушка замкнута накоротко.
(Ответ: в 1,5 раза).
24. Нужно изготовить соленоид из медного провода диаметром = 0,6 мм и длиной = 20 см. Каков должен быть диаметр соленоида, если его индуктивность = 0,01 Гн?
(Ответ: = 0,13 м).
25. Для измерения самоиндукции соленоида через него пропустили ток = 2 А, а затем через баллистический гальванометр пропустили экстраток размыкания. Отклонение гальванометра было такое же, как и при разрядке через него конденсатора ёмкостью = 1 мкФ, заряженного до разности потенциалов = 10 В. Определить индуктивность соленоида. Сопротивление контура гальванометра = 10 Ом.
(Ответ: Гн).
26. Короткий отрезок горизонтального провода длиной = 10 см перемещается со скоростью = 0,5 м/с вдоль длинного вертикального проводника, по которому течет ток = 20 А. Ближайший конец отрезка находится на расстоянии = 5 см от длинного проводника (рис. 45). Считая, что длина вертикального проводника намного больше суммы ( ), определить эдс, наводимую между концами движущегося отрезка, если: а) направление скорости совпадает с направлением тока ; б) направление скорости противоположно направлению тока.
(Ответ: а) 2,2 мкВ; б) 2,2 мкВ (направление меняется на противоположное)).
27. Решить предыдущую задачу, если короткий проводник наклонен к току под углом (рис. 46).
Рис. 45 |
Рис. 46 |
28. Из проволоки длиной = 10 см сделано полукольцо, которое движется со скорость = 0,5 м/с в однородном магнитном поле с индукцией = 10 мТл. Направление движения перпендикулярно магнитному полю и диаметру, соединяющему концы полукольца (рис. 47). Найти разность потенциалов на концах проводника.
(Ответ: = 0,32 мВ).
29. Из проволоки длиной = 10 см сделано полукольцо, которое движется со скоростью = 0,5 м/с в однородном магнитном поле с индукцией = 10 мТл. Направление движения перпендикулярно магнитному полю и составляет угол = с диаметром, соединяющим концы полукольца (рис. 48). Найти разность потенциалов на концах проводника.
(Ответ: = 0,3мВ).
Рис. 47 |
Рис. 48 |
30. Проводящий стержень перемещается вправо по U-образному проводнику, сопротивление которого пренебрежимо мало, в однородном магнитном поле с индукцией = 0,25 мТл (рис. 49). Силовые линии поля ортогональны плоскости рисунка и направлены к читателю. Стержень имеет длину = 34 см, движется со скоростью = 2,3 м/с и обладает сопротивлением = 25 Ом. Рассчитать: а) эдс индукции; б) силу тока в контуре. (Ответ: (а) = 0,2 мВ; б) = 8 мкА) |
|
31. Ток в соленоиде индуктивностью 130 мГн изменяется по синусоидальному закону , причём . Чему равна эдс индукции в момент, когда ток: 1) достигает своего максимального значения; 2) равен нулю?
(Ответ: (1) = 0; 2) = 440 В).