1.2. Магнитный момент. Магнитный поток. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

Основные формулы

      Магнитный момент замкнутого плоского контура, обтекаемого током ,

,                                                  (12)

где – площадь, ограниченная контуром; – единичный вектор нормали к плоскости контура.

      Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь поверхность S

,                                      (13)

где   – вектор, численно равный элементу площади , направление которого совпадает с положительным направлением нормали к плоскости контура;  – проекция вектора на направление нормали  к площадке ;  – угол между векторами и .

      Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь площадку

.                                       (14)

где – вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с направлением нормали  к площадке.

       Магнитный поток сквозь плоскую поверхность , находящуюся в однородном поле,

.                                                 (15)

        Поток вектора магнитной индукции сквозь соленоид

 

,                                            (16)

где – магнитная постоянная; – число витков соленоида; – площадь витков соленоида; – сила тока.

      Элементарная работа по перемещению  проводника с током в магнитном поле

,                                (17)

где   – угол между векторами и .

 

Методические рекомендации

1.   Магнитный момент совпадает с положительным направлением нормали к плоскости контура. Положительное направление нормали определяется правилом буравчика: если рукоятка вращается по направлению тока в контуре, то поступательное движение штопора показывает положительное направление вектора .

2.   Поток вектора  может быть как положительным, так и отрицательным (определяется выбором положительного направления нормали ). Магнитный поток связывают с контуром, по которому течет ток. Как указано в п. 1, положительное направление нормали связывается с током правилом правого винта. Магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

3. Для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности выполняется условие:

 –

эта формула выражает теорему Остроградского – Гаусса для вектора .

4.   Формула (17) позволяет определить работу, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током в магнитном поле. Для нахождения работы силы Ампера при полном перемещении контура с током от начального положения 1 до конечного 2 интегрируем выражение (17):

Если при перемещении ток поддерживается постоянным, то

,

где  и – магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.

 

Примеры решения задач

Пример 1.Прямоугольная рамка, состоящая из 20 витков, помещена во внешнее однородное магнитное поле с индукцией 0,2 Тл. Вектор магнитной индукции составляет  60° с плоскостью рамки. Определите магнитный момент рамки и силу тока в ней, если на рамку с током в магнитном поле действует механический момент 0,02 Н·м. Стороны рамки: = 5 см, = 10 см.

Решение

Механический момент, действующий на рамку с током, помещенную в однородное магнитное поле,

,

где – вектор магнитной индукции,  – магнитный момент рамки с током.

Модуль вектора :

,

 – угол между вектором и нормалью  к контуру;   .

Так как рамка состоит из  витков, то .

Тогда .                                                                            (а)

Магнитный момент рамки с током имеет вид:

, где – площадь рамки.

Следовательно, , откуда следует:

;                                                        (б)

Подставляем в формулы (а) и (б) числовые данные:

 = 5 см = м; = 10 см = 0,1 м; = 20; = 0,02 Н·м; = 30°.

Вычисления дают:  А·м²; = 2 A.

Пример 2. Принимая, что электрон в атоме водорода движется по крутой орбите (рис. 16), определите отношение магнитного момента  эквивалентного магнитного тока к моменту импульса    орбитального движения электрона.       Решение Движущийся в атоме по круговой орбите электрон эквивалентен круговому току, значит он обладает орбитальным магнитным моментом , где   – сила тока, – заряд электрона,  – частота вращения электрона по орбите, – площадь контура,  – единичный вектор нормали.

Модуль вектора  имеет вид:

,

– площадь поверхности, описанной электроном при движении.

Движущийся электрон обладает также орбитальным механическим моментом

,

 – масса электрона,  – скорость электрона, – радиус орбиты.

Скорость , где – циклическая частота.

Учитывая, что , получаем .

Отношение орбитальных моментов:

.                                          (а)

Направление векторов  и  определяются правилом правого винта (см. рис. 16).

Подставим в формулу (а) числовые значения: Кл; кг.

Вычисления дают:  Кл/кг

 

Пример 3. По тонкому стержню длиной = 20 см равномерно распределен заряд  = 240 нКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью  рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить: 1) магнитный момент , обусловленный вращением заряженного стержня; 2) отношение магнитного момента к  моменту импульса, если стержень имеет массу = 12 г.

Решение

Элемент стержня  имеет заряд , где  – линейная плотность заряда,  .

При вращении заряда  вокруг оси возникает эквивалентный круговой ток , где  – период вращения, , следовательно,  .

Магнитный момент эквивалентного тока будет ,  – площадь поверхности, описываемой зарядом  при вращении, тогда .

Полный магнитный момент , создаваемый при вращении стержня, имеет вид: .

Момент импульса стержня относительно оси, проходящей через его середину, равен , где  – момент инерции стержня относительно оси. Следовательно, .

Отношение .

Подставляя числовые значения = 20 см =0,2 м;  = 240 нКл =             = 2,4·10^-7 Кл;  рад/с; = 12 г = 12·10^-3 кг, получаем:

  ;   = 10^-5.

 

Пример 4

 

Плоский контур, площадь которого равна 23 см², находится в однородном магнитном поле с напряженностью 3,18·104 А/м. Определить магнитный поток, пронизывающий контур, если плоскость его составляет угол  = 30° с линиями индукции.

Решение

Магнитный поток  имеет вид:

,

где – угол между вектором  и нормалью  к контуру, ;  – индукция  магнитного поля ;  – магнитная постоянная.

 

Следовательно, . Подставим числовые значения: Вычисления дают: = 5·10-5 Вб = 50 мкВб.

 

Пример 5. В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом, по которому течет ток = 10 A, расположена  квадратная рамка со стороной   = 15 см. Определите  магнитный поток , пронизывающий рамку, если две стороны рамки параллельны проводу, а расстояние  от провода до ближайшей стороны рамки составляет 2 см.

Решение

Магнитный поток сквозь поверхность  равен: . Квадратная рамка находится в неоднородном магнитном поле, индукция которого меняется с расстоянием по закону: , где   – расстояние от рассматриваемой точки до провода.

Площадь рамки разобьем на элементарные площадки  шириной , площадью , в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной (рис. 18).

Магнитный поток сквозь элементарную площадку определяется соотношением

.

Проинтегрируем выражение в пределах от до , получаем:

.

Подставим числовые значения, ;  = 10A;  = 15 cм; = 2 см = 2·10^-2 м.

Вычисления дают: = 0,64 мкВб.

 

Пример 6. Круговой проводящий контур радиусом = 5 см и током    = 1 А свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией  = 20 мТл. Определить  работу по повороту контура на угол  относительно оси, совпадающей с диаметром контура.

Решение

По условию контур свободно установился в магнитном поле, следовательно, вектор  совпадает по направлению с вектором  ( =0°)      (рис. 19, а).

Магнитный поток сквозь поверхность контура равен:

.

После поворота контура угол между вектором  и нормалью будет 90° ( = 90°) (рис. 19, б), поэтому магнитный поток сквозь контур

.

                           

Рис. 19

 

Работа сил поля по повороту контура определяется выражением

(ток в контуре считаем постоянным)

.

Площадь кругового контура ,

      тогда .

Подставляем числовые значения:

Знак «минус» означает, что работу совершают внешние силы.

 

Пример 7

По двум вертикальным параллельным рельсам может двигаться стержень массой , изготовленный из материала плотностью . Площадь поперечного сечения стержня равна . Рельсы расположены в горизонтальном магнитном поле индукцией , вектор индукции которого направлен за чертеж.

При пропускании тока силой проводник движется равноускоренно по рельсам вверх без начальной скорости. Определить работу  силы Ампера по перемещению проводника за время . Явлением электромагнитной индукции и трением о рельсы пренебречь. На стержень, по которому течет ток, в магнитном поле действует сила Ампера , направленная вверх (согласно правилу левой руки). Кроме того, на стержень действует сила тяжести , направленная вертикально вниз (рис. 20). По условию стержень движется равноускоренно вверх, значит, . Работа силы Ампера: ,

где – угол между направлением силы Ампера и вектором перемещения,  = 0°, .

Сила Ампера  ,

 = 90°( ), – угол между вектором  и направлением тока.

.

Следовательно, .

Перемещение .

Ускорение находим по II закону Ньютона

.

В проекциях на ось оу:

;

, следовательно,

.

Длину стержня  определим через его массу и плотность:

 

Задачи для самостоятельного решения

1.  Напряженность магнитного поля в центре кругового витка равна    200  А/м. Сила тока в витке 37 A. Чему равен магнитный момент витка? 

(Ответ:  = 1 А·м²).

2.  По кольцу радиусом  течет ток. На оси кольца на расстоянии            = 1 м от его плоскости магнитная индукция  = 10нТл. Определить магнитный момент  кольца с током. Считать .

(Ответ: = 50 мА·м²).

3.  В одной плоскости с длинными прямыми проводами, по которым текут токи = 25 A в противоположных направлениях, расположена квадратная рамка со стороной = 13 см. Стороны рамки параллельны проводам, а расстояния от проводов до ближайших из сторон равны длине стороны рамки. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.        

(Ответ: = 9·10^-7 Вб).

4.  Тонкое кольцо массой  = 15 г и радиусом  = 10 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью =15 нКл/м.  Определите отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его механическому орбитальному моменту, если кольцо равномерно вращается относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через её центр.

(Ответ: ).

5.  Тонкое кольцо радиусом = 20 см несет заряд  = 10 нКл. Кольцо равномерно вращается с частотой = 15 c^-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через её центр. Найти магнитный момент кругового тока, создаваемого кольцом. 

^{Ответ: .}

6.  Рамка гальванометра длиной = 4 см и шириной = 1,5 см, содержащая = 200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией =0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции. Найти магнитный момент рамки при токе =1мА и механический момент, действующий на рамку.

(Ответ: ).

7.  Короткая катушка площадью поперечного сечения, равной 150 см², содержит 200 витков провода, по которому течет ток 4 А. Катушка помещена в однородное магнитное поле напряженностью 8 кА/м. Определить магнитный момент катушки, а также вращающий момент,  действующий на неё со стороны поля, если ось катушки составляет угол 60° с линиями индукции.                                                                 

(Ответ: ).

8.  В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом с током расположена рамка так, что две её стороны параллельно проводу. Во сколько раз будут отличаться магнитные потоки, пронизывающие рамку со стороной а, если расстояние от провода до ближайшей из сторон равно , 5 ?

(Ответ: = 3, 81).

9.  Диск, радиус которого 10 см, вращается в магнитном поле с частотой 5,3 c^-1. Вектор индукции магнитного поля составляет угол 30° с плоскостью диска. Найти магнитный поток, пересекаемый радиусом диска за время 1 мин, если индукция магнитного поля 0,1 Тл.                     

(Ответ:  = 0,5 Вб).

10. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной 10 см, течет ток 20 А, сила которого поддерживается неизменной. Плоскость квадрата составляет угол 20° с линиями индукции однородного магнитного поля ( =0,1 Тл). Вычислить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля.                                  

(Ответ:  = 6,84 мДж).

11. Магнитный момент соленоида без сердечника длиной 10 см равен 0,2  А·м². Определите поток магнитной  индукции сквозь площадь поперечного сечения этого соленоида.

(Ответ: ).

12. Квадратный проводящий  контур со стороной 5 см и током 1 А  свободно подвешен в однородном магнитном поле с индукцией  2 мТл. Принимая силу тока в контуре неизменной, определите работу, которую следует совершить, чтобы повернуть контур на 180° вокруг своей оси, перпендикулярной направлению магнитного поля.                        

(Ответ:  = 10 мкДж).

13. По круговому витку, радиусом 5 см, течет ток  20 А. Виток расположен в однородном магнитном поле ( = 40 мкТл) так, что нормаль к плоскости контура составляет угол 30° с вектором . Определить изменение потенциальной энергии контура при его повороте на угол 90° в направлении увеличения угла.                                                         

(Ответ: = 9 мДж).

14. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл равномерно со скоростью 10 см /с движется проводник длиной 20 см. Определите работу перемещения проводника за время 10 с, если скорость его движения перпендикулярна к магнитному полю и сила тока в проводнике 5 А.

 (Ответ: = 0,5 Дж).

15. Два бесконечно длинных проводника с одинаковыми токами, которые текут в одном направлении, находятся на расстоянии  = 3 см друг  от друга. Определите силу тока в проводниках, если для раздвижения проводников на расстояние  = 5 см на = 1 см длины проводника следует совершить работу = 103 нДж.

(Ответ: ).

16. Диск радиусом 8 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд ( = 100 нКл/м²). Определить магнитный момент , обусловленный вращением диска, относительно оси, проходящей через его центр и  перпендикулярной плоскости диска. Угловая скорость вращения диска 60 рад/с.                                                                    

(Ответ: = 1,9·10-10  А·м²).

17. Магнитный поток сквозь сечение соленоида равен 59 мкВб. Длина соленоида 50 см. Найти магнитный момент  соленоида, если плоскость его составляет угол 60° с направлением  линий индукции.      

(Ответ: = 17 А·м²).

18. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиусом           = 10 см, течет ток  = 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией  = 0,1 Тл, по направлению совпадающей с индукцией  собственного магнитного поля кольца. Определить работу внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против других сил пренебречь.

(Ответ: ).

19. Квадратная рамка со стороной   = 10 см, по которой течет ток       = 200 А, свободно установилась в однородном магнитном поле, индукция которого = 0,2 Тл. Определить работу, которую необходимо совершить при повороте рамки вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям магнитной индукции, на угол .

(Ответ: ).

20. Сплошной цилиндр радиусом 4 см и высотой 15 см несет равномерно распределенный по объему заряд ( = 0,1 мкКл/м³). Цилиндр вращается с частотой 10 с^-1 относительно оси, совпадающей с его геометрической осью. Найти магнитный момент цилиндра, обусловленный его вращением.  

(Ответ: = 1,9·10^-11 А·м²).

21. По тонкому стержню длиной  = 40 см равномерно распределен заряд  = 60 нКл. Стержень вращается с частотой  = 12 с^-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через стержень на расстоянии  от одного из его концов. Определить магнитный момент , обусловленный вращением стержня.                           

(Ответ: = 4·10^-8 А·м²).

22. На длинный картонный каркас диаметром  = 5 см уложена однослойная обмотка из проволоки диаметром  = 0,2 мм. Определить магнитный поток , создаваемый таким соленоидом при силе тока = 0,5 А.  

(Ответ:  = 6 мкВб).

23. Квадратный контур со стороной  = 10 см, в котором течет ток      = 6 А, находится в магнитном поле ( = 0,8 Тл) под углом  = 50° к линиям индукции. Какую работу нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на окружность?                  

(Ответ: = 0,01 Дж).

24. Плоский контур с током 50 А и площадью 200 см² расположен в однородном магнитном поле ( = 0,6 Тл) так, что нормаль к контуру перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить работу, совершаемую силами поля при медленном повороте контура около оси, лежащей в плоскости контура на угол  = 30°.

(Ответ:  = - 8,4·10^-2 Дж).

25. Определить магнитный поток , пронизывающий соленоид, если его длина  = 50 см и магнитный момент  = 0,4 Ам².            

(Ответ:  = 1 мкВб).

26. В средней части соленоида, содержащего  = 24 витка на сантиметр, помещен круговой виток  радиусом 2 см. Плоскость витка расположена под углом  = 60° к оси соленоида. Определить магнитный поток, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток 2 А. Магнитное поле считать однородным, а магнитную индукцию равной значению на оси соленоида.

(Ответ:  = 1,1 мкВб).

27. Квадратная рамка со стороной  = 20 см расположена в одной плоскости с прямым, бесконечно длинным проводом с током. Расстояние от провода до середины рамки  = 1 м. Вычислить относительную погрешность, которая будет допущена при расчете магнитного потока,  пронизывающего рамку, если поле в пределах рамки считать однородным, а магнитную индукцию равной значению её в центре магнитной рамки.

(Ответ:  = 0,62 %).

28. Через центр кольца из немагнитного материала перпендикулярно к его плоскости проходит длинный прямолинейный провод, по которому течет ток  = 25 А. Кольцо имеет прямоугольное сечение (рис. 21), размеры которого = 14 мм,  = 21 мм, = 5 мм. Найти магнитный поток , пронизывающий сечение кольца.                                               

(Ответ:  = 3,75·10^-8 Вб).

29. Прямой бесконечно длинный провод, по которому идет ток 5 А и прямоугольная рамка с током 3 А расположены в одной плоскости так, что сторона рамки  = 1м параллельна прямому току и отстоит от него на расстоянии =  0,1 , где  – длина другой стороны рамки (рис. 22). Определить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы повернуть рамку на угол 90° относительно оси ОО₁, параллельной прямому току и проходящей через середины противоположных сторон  рамки.

 

Рис. 21

Рис. 22

 

2. Действие магнитного поля на заряды и токи