2.2. Действие магнитного поля на проводник с током. Сила Ампера. Контур с током в магнитном поле
Основные формулы
Сила, действующая на элемент проводника с током , помещенного в магнитное поле (сила Ампера),
,
(21)
где – вектор магнитной индукции поля.
Модуль силы Ампера, действующей на элемент проводника с током,
,
(22)
где – угол между направлением векторов и .
Полная сила, действующая на весь проводник с током, помещенный в магнитное поле с индукцией ,
.
(23)
Сила взаимодействия двух проводников с токами и (на единицу длины проводника)
,
(24)
где – магнитная постоянная, – расстояние между проводниками.
Магнитный момент контура с током
,
(25)
где – магнитный момент; – сила тока; – площадь, ограниченная контуром; – вектор положительной нормали к контуру.
Модуль магнитного момента
.
(26)
Вращающий момент, действующий на контур с током, помещенный в магнитное поле,
,
(27)
где
–
вращающий момент;
–
магнитный момент;
–
вектор магнитной индукции поля.
Модуль вектора вращающего момента
,
(28)
где – угол между векторами и .
Сила, действующая на контур с током, помещенный в неоднородное магнитное поле (пондеромоторная сила),
,
(29)
где
–
магнитный момент;
–
градиент магнитной индукции поля.
Модуль пондеромоторной силы
,
(30)
где – угол между векторами и .
Методические рекомендации
1. Применяя правило левой руки для нахождения направления силы Ампера в случае, если вектор магнитной индукции поля направлен под углом к направлению тока в проводнике, необходимо направить в ладонь нормальную составляющую вектора .
2. Если на проводник с током кроме силы Ампера, действуют другие силы, то начинать решение задачи нужно с применения первого или второго законов Ньютона.
Примеры решения задач
Пример 1. Медный провод, площадь сечения которого 2 мм2, согнутый в виде трех сторон квадрата, может вращаться около горизонтальной оси. Провод находится в однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен вертикально вниз. При прохождении тока силой 10 А провод отклонится на 15 °. Определите индукцию магнитного поля (рис. 32). Решение
После
отклонения на угол
проводник
остается в равновесии. Условие
равновесия тела, способного вращаться
вокруг оси: векторная сумма моментов
сил, действующих на него, имеет вид:
На каждую из трех частей проводника действуют две силы: сила Ампера и сила тяжести. Выбираем систему координат так, чтобы ось 0y была направлена через середину проводника ВС вертикально вниз, а ось 0x – по оси вращения (рис. 32). |
|
.
На
проводники АВ и СД действуют равные по
величине и противоположно направленные
силы Ампера. Радиус-векторы этих сил
одинаковы, поэтому моменты этих сил
также равны по величине и противоположно
направленные, т. е. их суммарный момент
равен нулю. На проводник СД действует
сила Ампера
(
,
так как вектор
и
элемент тока
взаимно-перпендикулярны).
Момент силы относительно оси вращения:
,
где
–
радиус-вектор силы
;
.
Векторы
и
направлены
под углом
.
Проекция
на
ось 0x:
.
На
весь проводник действует сила тяжести
,
где
–
масса проводника;
,
где
–
плотность меди;
–
объем проводника;
.
Тогда получаем
.
Сила тяжести приложена к центру масс.
Координаты центра масс:
,
следовательно,
величина радиус-вектора силы тяжести
,
а угол между
и
составляет
.
Проекция момента силы тяжести на ось 0x следующая:
;
или
;
;
откуда следует
.
Подставляем числовые данные:
=
2 мм2
= 2·10-6
м2;
=
10 А;
=
15º;
=
9,8 м/с2;
=
1,7·10-8
Ом·м.
Вычисления дают: = 9,3 мТл.
Пример 2. Стальной проводник диаметром 0,1 мм висит в однородном магнитном поле индукцией 20 мТл (рис. 33). Найти силу тока в проводнике. Плотность стали 7,8·103 кг/м3.
Решение
По условию проводник находится в равновесии, значит, геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю:
(а)
На
данный проводник действуют две силы:
сила Ампера
или
Модули
сил определяются:
где
|
|
со
стороны магнитного поля и сила
тяжести
со
стороны гравитационного поля Земли.
Следовательно, условие равновесия
данного проводника будет иметь вид:
(б)
(в)
,
(г)
.
(д)
так
как
;
–
масса проводника;
,
где
–
объем проводника;
–
плотность стали;
,
то площадь сечения проводника
.
Следовательно,
(е)
С учетом (д) и (е) выражение (г) примет вид:
,
откуда получаем
.
Подставим числовые данные: =0,1 мм = 1·10-4 м; = 20 мТл = = 2·10-2 Тл; = 7,8·103 кг/м3.
Вычисления дают: = 0,12 А.
Пример 3. На двух горизонтальных рельсах, расстояние между которыми 50 см, лежит стержень перпендикулярно им. Рельсы и стержень находятся в вертикальном магнитном поле с индукцией 50 мТл. Масса стержня 200 г, коэффициент трения стержня о рельсы 0,15. Определите силу тока, который можно пропустить по стержню, чтобы он двигался равномерно и прямолинейно по рельсам (рис. 34).
Решение
Пусть вектор магнитной индукции направлен вертикально вниз, рельсы располагаются в горизонтальной плоскости, ток течет по проводнику из-за чертежа «к нам».
На
стержень действуют следующие силы: сила
тяжести
,
направленная вертикально вниз, силы
реакции опоры
,
направленные вертикально вверх,
перпендикулярно рельсам, сила Ампера
,
направленная, согласно правилу левой
руки, вправо (по рисунку), сила трения
,
направленная влево (рис. 34).
Рис. 34
По условию задачи проводник должен двигаться прямолинейно и равномерно, поэтому векторная сумма всех указанных сил равна нулю:
.
В проекциях на оси координат:
Ox:
;
Oy
:
,
откуда следует
;
.
Сила Ампера определяется выражением
, так как .
Сила
трения
,
где
–
коэффициент трения.
Следовательно,
или
.
Откуда
следует
.
Подставим числовые значения:
= 50 см = 0,5 м; = 50 мТл = 5·10-2 Тл; = 200 г = 0,2 кг; = 9,8 м/с2; = 0,15.
Вычисления дают = 11,8 А.
Пример 4. По тонкому проводу в виде кольца радиусом 50 см течет ток 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле 25 мТл. Найти силу, растягивающую кольцо.
Решение
Предположим, что ток идет по кольцу по часовой стрелке, а силовые линии магнитного поля направлены за чертеж (рис. 35). Для решения задачи выделим элемент кольца . На данный элемент с током в магнитном поле действует сила Ампера , направленная по радиусу кольца, и силы натяжения , действующие на концы элемента . Сила Ампера определяется выражением
где
Следовательно,
|
|
,
,
так как элемент
виден
из центра под углом
.
.
Проекция сил натяжения на направление радиуса будет следующая:
(при
малых углах
).
По
первому закону Ньютона:
или
,
откуда получаем
.
Вычисления: = 100 А · 25·10-3 Тл · 0,5 м = 1,25 Н.
Пример 5. Прямоугольная проволочная рамка со сторонами 20 см и 10 см расположена в одной плоскости с бесконечно прямым проводом с током 20 А (рис. 36). По рамке протекает ток 1 А. Длинные стороны рамки, параллельные проводу, расположены на расстоянии 10 см от него. Определить силы, действующие на каждую из сторон рамки. Считать, что ток в ближайшей к проводу стороне рамки сонаправлен с током в проводе.
Решение
Прямоугольная рамка находится в неоднородном магнитном поле, индукция которого зависит от расстояния, согласно закону Био-Савара-Лапласа, следующим образом:
– расстояние от прямолинейного проводника с током до рассматриваемой точки. На каждый элемент тока рамки в магнитном поле действует сила Ампера
В пределах рамки вектор направлен перпендикулярно чертежу, поэтому
Общую силу, действующую на сторону рамки, находим интегрированием:
|
|
,
.
.
.
Короткие стороны рамки расположены одинаково относительно провода, поэтому на них действуют одинаковые по модулю и противоположно направленные силы Ампера:
,
.
Силы, действующие на длинные стороны рамки, определяются как
;
.
Результирующая
сила
.
Вычисления
дают:
=
8 мкН;
=
4 мкН;
=
2,8 мкН.
Результирующая сила = 4 мкН (направлена влево по рисунку).
Сумма
сил
и
равна
нулю.
Пример 6. По длинной катушке, изготовленной из проводника диаметром 0,2 мм, течет ток силой 10 А. В магнитное поле этой катушки помещают квадратную рамку со стороной 2 см, плоскость которой параллельна магнитным линиям. По рамке пропускают ток силой 4 А. Найти вращающий момент сил М, действующий на рамку в магнитном поле катушки.
Решение
Катушка с током создает магнитное поле с индукцией
,
где
–
магнитная постоянная;
–
число витков катушки, содержащихся на
единице её длины;
–
сила тока.
;
число витков катушки
,
где
–
диаметр провода. Следовательно,
.
(а)
Вращающий момент, действующий на рамку с током в магнитном поле катушки, имеет вид:
,
где – магнитный момент рамки с током; – индукция магнитного поля катушки.
Модуль момента сил
,
где – угол между направлением вектора и нормалью к рамке.
.
По
условию
поэтому
.
(б)
С учетом (а) уравнение (б) принимает вид:
.
Размерность
.
Вычисления дают = 0,01 Н · м.
Пример 7. Квадратная рамка из тонкого провода массой 10 г без трения вращается относительно вертикальной оси ОО1, проходящей через ее центр перпендикулярно двум противоположным сторонам рамки (рис. 37). Рамка находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл, направленной перпендикулярно плоскости чертежа. По рамке протекает ток силой 2 А. Определить период малых колебаний рамки около положения её устойчивого равновесия. Решение При отклонении рамки на малый угол от положения равновесия возникает вращающий момент, созданный силами Ампера, действующими на стороны рамки с током: , |
|
где – магнитный момент рамки, – индукция магнитного поля.
;
(а)
,
(б)
где – сторона рамки.
Уравнение вращательного движения рамки
,
(в)
где
–
момент инерции рамки относительно оси
ОО1,
–
угловое ускорение
.
(г)
Момент
инерции рамки
или
,
(д)
где – момент инерции стороны АВ (СД), – момент инерции стороны ВС (ДА).
Из уравнений(а)–(д) следует:
или
.
Для
малых колебаний
,
поэтому
.
(е)
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний рамки.
Общий вид дифференциального уравнения гармонических колебаний
,
(ж)
где
–
циклическая частота.
Сравнивая
(е) и (ж), получаем
.
Период
колебаний
.
Вычисления дают = 0,057 с.
Задачи для самостоятельного решения
1. Между полюсами электромагнита создается однородное магнитное поле с индукцией 7,9·10-2 Тл. В поле помещают проводник длиной 70 см так, что на него действует максимальная сила. Ток в проводнике 10 А. Определите: а)максимальную силу, действующую на проводник; б)угол, на который надо повернуть проводник, чтобы уменьшить силу в два раза.
(Ответ:
=
5,56 ·105
Н;
=
30º).
2. По медному стержню массой 0,14 кг, лежащему поперек двух рельсов, расположенных друг от друга на расстоянии 0,3 м, проходит ток 50 А. Коэффициент трения скольжения по рельсам 0,6. Определите минимальную индукцию магнитного поля, при которой проводник начнет скользить по рельсам.
(Ответ:
=
0,055 Тл).
3.По наклонным рельсам соскальзывает 3равномерно вниз стержень с площадью поперечного сечения , изготовленный из материала с плотностью . Рельсы расположены в однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен рельсам (рис. 38). Угол между рельсами и горизонтом равен , коэффициент трения о рельсы . По стержню течет ток силой .Чему равна индукция магнитного поля?
(Ответ: |
|
).
4.В однородном магнитном поле на двух
невесомых нитях подвешен горизонтально
прямой проводник длиной 0,2 м с массой
10 г. Индукция магнитного поля 49 мТл,
причем линии вектора индукции направлены
вверх перпендикулярно проводнику. На
какой угол
от
вертикали отклонятся нити, на которых
висит проводник, если по нему пропустить
ток плотностью 2 А/мм2.
Диаметр поперечного сечения проводника
1 мм.
(Ответ:
).
5. По двум параллельным проводам длиной 1 м каждый текут токи одинаковой силы. Расстояние между проводами 1 см. Сила взаимодействия токов 1 мН. Какова сила тока в проводах?
(Ответ: = 7 А).
6. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии 10 см друг от друга, текут одинаковые токи силой 100 А. В двух проводниках направление токов совпадает. Вычислить силу, действующую на единицу длины каждого провода.
(Ответ:
=
0,16 Н/м;
=
0,27 Н/м).
7.
Горизонтальный
стержень массой 20 г и длиной 50 см покоится
на двух одинаковых вертикальных пружинах
в горизонтальном однородном магнитном
поле индукцией 0,1 Тл, перпендикулярном
стержню. По стержню пропускают в
течение короткого промежутка времени
10 мс ток силой 100 А, из-за чего стержень
смещается вверх. Определить максимальную
деформацию сжатия
пружин
при этом. Жесткость каждой пружины 10
Н/м.
(Ответ: = 0,25 м).
8. Прямой проводник длиной 0,2 м и массой 5 г подвешен горизонтально на двух невесомых нитях в однородном магнитном поле перпендикулярно его силовым линиям. Индукция магнитного поля 49 мТл. Какой минимальной силы ток надо пропустить по проводнику, чтобы одна из нитей разорвалась, если нить разрывается при воздействии на нее силы 39,2 мН? (рис. 39). (Ответ: = 3 А). 9. В однородном магнитном поле индукцией 1,3 ·10-8 Тл подвешен на двух проводящих нитях медный проводник длиной 4 см и диаметром 1 мм, на концах которого поддерживается разность потенциалов 10 В. Поле направлено от наблюдателя за чертеж. Чему равна сила натяжения каждой нити? Среда – воздух. Удельное сопротивление меди 1,7·10-8 Ом·м, её плотность 8900 кг/м3. (Ответ: = 1,4 мН). |
|
10.
Однородный
стержень длиной
и
диаметром
,
изготовленный из никелина, удельное
сопротивление которого
,
подвешен горизонтально на двух гибких
медных вертикальных проводниках в
однородном магнитном поле, вектор
индукции которого
направлен
вертикально. На какой угол
от
вертикали отклонятся проводники, если
их верхние концы замкнуть на источник
тока с эдс
и
внутренним сопротивлением
?
Плотность никелина
.
(Ответ:
.
11. Катушка гальванометра, состоящая из 400 витков тонкой проволоки, намотанной на прямоугольном каркасе со сторонами 3 и 2 см, подвешена на нити в магнитном поле с индукцией 79,6·103 Тл. По катушке течет ток 0,1 мкА. Определите вращающий момент, действующий на катушку гальванометра, если: а)плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля; б)плоскость катушки составляет 60° с направлением магнитного поля.
(Ответ: (а) 1,9·10-4 Н·м; б) 0,855·10-4 Н·м).
12. Квадратная рамка со стороной 1 см подвешена на нити подвеса так, что силовые линии магнитного поля параллельны нормали к плоскости рамки. Магнитная индукция поля 1,37·10-2 Тл. Если по рамке пропустить ток 1 А, то она поворачивается на угол 1°. Определите коэффициент кручения нити подвеса (вращательный момент, необходимый для того, чтобы вызвать закручивание нити на 1°).
(Ответ: 1,37·10-4 Н·м/град).
13. Квадратная рамка со стороной 0,1 м расположена около длинного провода, сила тока в котором равна 100 А. Две стороны рамки параллельны проводу и отстоят от него на расстояние 0,2 м. Чему будет равен вращающий момент, действующий на рамку, если сила тока в ней будет равна 10 А?
(Ответ: = 9,7 мкН·м).
14. Квадратная проволочная рамка со стороной расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две её стороны параллельны проводу с током. По рамке и проводу текут одинаковые токи 1 кА. Определить расстояние от ближайшей к проводу стороны рамки, если на рамку действует сила 0,1 Н.
(Ответ:
).
15. Квадратная рамка со стороной 2 см, содержащая 100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити (постоянная кручения равна 10 мкН·м/град). Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию этого поля, если при пропускании по рамке тока 1 А она повернулась на угол 60°.
(Ответ: = 30 мТл).
16. Проволочный виток радиусом 5 см находится в однородном магнитном поле напряженностью 2 кА/м. Плоскость витка образует угол 60° с направлением поля. По витку течет ток 4 А. Найти механический момент, действующий на виток.
(Ответ: = 39,5 мкН·м).
17. Рамка гальванометра, содержащая 200 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити. Площадь рамки равна 1 см2. Нормаль к плоскости рамки перпендикулярна к линиям магнитной индукции ( = 5 мТл). Когда через гальванометр был пропущен ток 2 мкА, рамка повернулась на угол 30°. Найти постоянную кручения нити.
(Ответ:
=
332 пН·м/град).
18.
На
расстоянии 20 см от прямолинейного
вертикального провода на нити длиной
0,1 м и диаметром 0,1 мм висит короткая
магнитная стрелка, магнитный момент
которой 0,01 А·м2.
Стрелка находится в плоскости, проходящей
через провод и нить. На какой угол
повернется
стрелка, если по проводу пропустить ток
30 А? Модуль сдвига материала нити
=
5,9 ГПа. Система экранирована от магнитного
поля Земли.
(Ответ: = 30º).
19. Квадратная рамка подвешена на проволоке так, что направление магнитного поля составляет угол 90° с нормалью к плоскости рамки. Сторона рамки 1 см, индукция магнитного поля 13,7 мТл. Если по рамке пропустить ток 1 А, то она поворачивается на угол 1°. Найти модуль сдвига материала проволоки. Длина проволоки 10 см, радиус нити 0,1 мм.
(Ответ: = 50 ГПа).
20. Тонкий провод длиной 20 см изогнут в виде полукольца и помещен в магнитное поле индукцией 10 мТл так, что площадь полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. По проводу пропустили ток 50 А. Определить силу, действующую на провод. Подводящие провода направлены вдоль линий магнитной индукции.
(Ответ: = 64 мН).
21. Тонкое проводящее кольцо с током 40 А помещено в однородное магнитное поле с индукцией 80 мТл. Плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. Радиус кольца равен 20 см. Найти силу, растягивающую кольцо.
(Ответ: = 0,64 Н).
22. Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом 15 см, находится в однородном магнитном поле 20 мкТл. По проводу течет ток 30 А. Плоскость, в которой лежит дуга, перпендикулярна линиям магнитной индукции, и подводящие провода находятся вне поля. Определить силу, действующую на провод.
(Ответ: = 0,156 Н).
23. Короткая катушка площадью поперечного сечения 250 см2, содержащая 500 витков провода, по которому течет ток 5 А, помещена в однородное магнитное поле напряженностью 1000 А/м. Найти: 1) магнитный момент катушки; 2) вращающий момент , действующий на катушку, если ось катушки составляет угол 30° с линиями поля.
(Ответ:
6,25
Н/м;
=
7,85·10-3 Н·м).
24. Квадратная рамка со стороной 1 м из тонкого провода может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из сторон. Масса рамки равна 20 г. Рамку поместили в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, направленное вертикально вверх. Определить угол, на который отклонилась рамка от вертикали, когда по ней пропустили ток 10 А.
(Ответ: = 84º).
25. В однородном магнитном поле с индукцией 1 мТл в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции, расположено тонкое проволочное полукольцо длиной 50 см, по которому течет ток 5 А. Определите результирующую силу, действующую на полукольцо.
(Ответ: = 1,59 мН).
26. По двум параллельным прямым проводникам длиной 2 м каждый, находящимся в воздухе на расстоянии 10 см друг от друга, в противоположном направлении текут токи. Сила взаимодействия проводников с током равна 20 мН. Определите силу тока во втором проводнике, если в первом она равна 50 А.
(Ответ: = 100 А).
27. По прямому горизонтальному проводу пропускают ток 100 А. Под этим проводом на расстоянии 1 см расположен второй, параллельный ему медный провод, по которому пропускают ток 50 А. Определите, какова должна быть площадь поперечного сечения второго провода, чтобы он удерживался в состоянии равновесия незакрепленным. Плотность меди 8,93 г/см3.
(Ответ: = 1,14 мм2).
28. Из проволоки сделано полукольцо радиусом 10 см, по которому протекает ток силой 10 А. Полукольцо помещено в магнитное поле, вектор индукции которого лежит в плоскости полукольца и перпендикулярен диаметру. Определите силу, действующую на проволоку, если индукция магнитного поля равна 50 мТл.
(Ответ: = 0,1 Н).
29.
Медный провод с сечением
,
изогнутый в виде рамки, может вращаться
вокруг горизонтальной оси (рис. 40).
Провод находится в однородном магнитном
поле, направленном вертикально. Когда
по проводу течет ток
,
провод отклоняется на угол
от
вертикали. Определить индукцию поля
.Плотность
меди
.(Ответ: |
|
).
30. Катушка гальванометра, состоящая из 600 витков проволоки, подвешена на нити длиной 10 см и диаметром 0,1 мм в магнитном поле с напряженностью 16·104 А/м так, что её плоскость параллельна направлению магнитного поля. При включении тока катушка повернулась на угол 0,5°. Чему равен этот ток? Стороны рамки катушки равны соответственно 2,2 см и 1,9 см. Модуль сдвига материала нити = 6·109 Н/м2.
(Ответ: = 1,16·10-5 А).