- •Электромагнетизм Сборник задач по физике
- •1. Постоянное магнитное поле в вакууме
- •1.1. Закон Био-Савара-Лапласа, его применение к расчету магнитных полей. Закон полного тока. Магнитное поле соленоида и тороида
- •1.2. Магнитный момент. Магнитный поток. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
- •2.1. Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле
- •2.2. Действие магнитного поля на проводник с током. Сила Ампера. Контур с током в магнитном поле
- •3. Магнитное поле в веществе
- •4. Явление электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла
- •4.1. Закон электромагнитной индукции. Самоиндукция. Индуктивность
- •4.2. Взаимная индукция. Энергия магнитного поля. Уравнения Максвелла
- •Основные физические постоянные
- •Зависимость между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля железа
- •Основные физические постоянные
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ГОУ ВПО "Дальневосточный государственный
университет путей сообщения"
Н.А. Кравцова, Д.С. Фалеев
Электромагнетизм Сборник задач по физике
Рекомендовано
методическим советом ДВГУПС
в качестве учебного пособия
Хабаровск Центр дистанционного образования 2010
1. Постоянное магнитное поле в вакууме
1.1. Закон Био-Савара-Лапласа, его применение к расчету магнитных полей. Закон полного тока. Магнитное поле соленоида и тороида
Основные формулы
Закон Био-Савара-Лапласа: вектор индукции магнитного поля, созданного элементом проводника , по которому течет ток , имеет вид:
, (1)
где – радиус-вектор, проведенный от элемента до той точки, в которой определяется индукция поля; – магнитная постоянная.
В скалярной форме
, (2)
где – угол между векторами и .
Индукция магнитного поля в произвольной точке А, созданного отрезком проводника с током конечной длины,
, (3)
где – расстояние от т. А до проводника; – углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т.А соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Магнитная индукция поля в центре кругового тока радиусом R
. (4)
Индукция магнитного поля в произвольной т. А, созданного бесконечно длинным прямым проводником с током,
, (5)
где – расстояние от т. А до проводника.
Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром
, (6)
где – вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; – индукция магнитного поля; – проекция вектора на направление касательной к контуру; – угол между векторами и .
Магнитная индукция поля внутри соленоида
, (7)
где – магнитная постоянная; – длина соленоида; – число витков соленоида; – число витков соленоида на единице его длины.
Магнитная индукция поля внутри тороида
, (8)
где – радиус оси тороида.
Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция в любой точке магнитного поля проводника с током равна векторной сумме магнитных индукций , созданных в этой точке всеми элементами проводника с током, т. е.
, (9)
Напряженность магнитного поля в вакууме
. (10)
Методические рекомендации
1. Вектор магнитной индукции – основная характеристика магнитного поля, которую можно найти по формулам (3) – (5), (7), (8).
При заданном распределении токов расчет магнитных полей производят с помощью закона Био-Савара-Лапласа (1), (2) и принципа суперпозиции полей (9). Формулой (9) пользуются в том случае, если воспользоваться соотношениями (3)–(5), (7), (8) нельзя.
Из принципа суперпозиции также следует, что если в какой-то точке магнитное поле создано несколькими проводниками с током, то вектор результирующего поля равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в этой точке каждым током в отдельности, т. е.
, (11)
где – число проводников с током.
2. Для применения формул (9) и (11) нужно знать направления складываемых векторов . Помните, что вектор всегда нормален к плоскости, в которой расположены векторы и . В случае, если точка, в которой определяется вектор , и проводник с током находятся в одной плоскости, то векторное сложение заменяется алгебраическим, так как все элементарные векторы направлены вдоль одной прямой.
Если элементарные векторы не направлены вдоль одной прямой, то вектор представляют в виде геометрической суммы его составляющих вдоль осей 0x и 0y:
,
а вектор будет следующий:
3. Теорема о циркуляции вектора магнитного поля позволяет значительно упростить расчеты симметричных магнитных полей. В этом случае через точку, в которой определяется вектор , проводят замкнутый контур так, чтобы он совпадал с магнитной линией поля, для всех точек которого выполняется условие . Тогда формула (6) примет вид:
.
4. При решении задач на расчет магнитных полей, созданных в какой-либо точке пространства одним или несколькими проводниками с током, установите, прежде всего, какой формы проводник с током создал магнитное поле, и выберете формулу, по которой можно определить индукцию поля, созданного данной конфигурацией проводника. Если ни одна из формул не подходит, то выполните чертёж, на котором изобразите проводник с током в выбранной системе координат и выберете элементарный участок , совпадающий по направлению с током, проведите радиус-вектор элемента тока . Укажите на чертеже угол между векторами и воспользуйтесь законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции полей.
5. Направление магнитных силовых линий связано с направлением тока, который они охватывают правилом правого винта:
– если поступательное движение винта направить по направлению тока в проводнике, то направление вращения головки винта покажет направление силовой линии магнитного поля. Вектор направлен по касательной к магнитной линии;
– если направление вращения головки винта совпадает с направлением тока в проводнике, то поступательное движение винта показывает направление вектора магнитной индукции (применяется в случае кругового тока).
6. При определении магнитной индукции поля, созданного несколькими проводниками с током, необходимо показать в точке пространства, где определяется вектор , векторы магнитной индукции полей, созданных каждым проводником с током, после чего сложить эти векторы по правилу векторного сложения.
Для определения модуля вектора применяют теорему Пифагора или теорему косинусов и формулы тригонометрических функций.
Примеры решения задач
Пример 1. Определите индукцию магнитного поля, созданного токами и , текущими по бесконечно длинным проводникам в противоположных направлениях, в точке, отстоящей от проводников на расстояниях и соответственно . Расстояние между проводниками .
Решение Проведем вокруг проводников с током силовые линии и, пользуясь правилом правого винта, определим направление векторов и (рис. 1). По принципу суперпозиции вектор индукции результирующего магнитного поля
. Модуль вектора определяем по теореме косинусов: . |
|
Из треугольника также по теореме косинусов имеем:
.
Индукция магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником с током, определяется по формулам:
.
Следовательно, для индукции получаем
.
Пример 2. Два бесконечно длинных проводника с токами 5 и 8 А расположены в воздухе на расстоянии 1 м друг от друга. Во сколько раз индукция магнитного поля этих токов в точке А (на расстоянии 20 см слева от первого проводника) меньше индукции полей в точке В (на расстоянии 10 см справа от второго проводника)? Чему равна индукция поля посередине между проводниками?
Решение
Выполним чертёж и покажем на нём направление векторов магнитной индукции полей, созданных в точках 1, 2, 3 токами и . Направление векторов магнитной индукции определяется по правилу правого винта (рис. 2).
Рис. 2
По принципу суперпозиции полей вектора результирующего поля в указанных точках будут равны:
, , . (а)
Учитывая направление векторов , запишем уравнения (а) в скалярном виде:
, , , (б)
где ; ; ; ;
; . (в)
Подставим (в) в (б), получаем:
; ;
. (г)
Подставим в уравнения (г) числовые значения , .
Вычисления дают: , .
Пример 3
Длинный провод с током изогнут под углом . Определить магнитную индукцию в точке А (рис. 3). Расстояние .
Решение Данный проводник можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. По принципу суперпозиции магнитных полей индукция результирующего магнитного поля в точке А следующая: , где и индукция магнитных полей, созданных проводниками 1 и 2 в точке А. |
|
Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что , так как точка А лежит на оси проводника и значит .
Магнитная индукция отрезка проводника
,
где
, так как проводник бесконечно длинный, ,
следовательно ;
– магнитная постоянная;
.
Пример 4
Два кольцевых проводника с токами и расположены в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях (рис. 4). Радиусы колец одинаковы и равны 5 см. Определить индукцию поля в центре этих колец.
Решение Индукция результирующего магнитного поля в центре кольца определяется по принципу суперпозиции: , где и индукция магнитных полей, созданных круговыми токами и . Направления векторов и определяются по правилу правого винта, так как кольцевые проводники располагаются во взаимно-перпендикулярных плоскостях, то векторы и взаимно-перпендикулярны. Модуль вектора находится по теореме Пифагора |
|
,
индукции и в центре кругового тока имеют вид:
так как по условию, то
.
Тогда .
Подставим в формулу числовые значения, получаем
.
Пример 5
По тонкому кольцу, радиусом 30 см, течет ток 220 A. Определить магнитную индукцию на оси кольца в точке А (рис. 5). Угол
Решение Выделим на кольце элемент тока . Он создает в т.А магнитное поле с индукцией . По закону Био-Савара-Лапласа ; модуль вектора определяется соотношением , где – магнитная постоянная, – угол между векторами и , . |
|
Магнитная индукция поля, созданного всем кольцом в т.А, следующая:
.
Вектор представим как векторную сумму:
,
где – оставляющая вектора , перпендикулярная плоскости кольца, – оставляющая вектора , параллельная плоскости кольца
,
в силу симметрии , следовательно, , т. е. вектор направлен вдоль оси кольца.
.
Из чертежа видно, что , тогда , после интегрирования, учитывая, что , получаем
.
Вычисления дают
Пример 6
По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса течет ток плотности (рис. 6). Рассчитать магнитное поле внутри и вне проводника.
В данной задаче использовать закон Био-Савара-Лапласа и его следствия нельзя, так как проводник не является тонким. Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора : , где – нормальная составляющая вектора . Рассмотрим две точки: точку А1, расположенную на расстоянии r1 (r1<R) от проводника и точку А2, расположенную на расстоянии r2 > R от оси проводника. Через точки А1 и А2 проведем окружности. В силу симметрии модуль вектора в каждой точке окружности одинаков, поэтому |
|
;
для точки А1: ;
для точки А2: , сумма токов , охватываемых контуром (окружностью), равна: ,откуда определяем:
Пример 7
По тороидальной катушке с числом витков = 1000 течет ток 5 А. Средний диаметр катушки = 40 см, радиус витков = 5 см. Определить напряженность магнитного поля в точках, находящихся от центра тороида на расстояниях, = 5 см, = 20 см, = 23 см.
Решение По теореме о циркуляции вектора . В качестве контуров интегрирования возьмем окружности с центрами в точке О и радиусами . Окружность, проведенная через точку 1, не будет охватывать тока, поэтому , так как , то . |
|
Точка 2 лежит на окружности, радиус которой равен радиусу тороида . Плоскость, охватываемую этим контуром, пересекают витков с током , следовательно,
или .
Аналогично ;
расчет дает:
Задачи для самостоятельного решения
1. Напряженность магнитного поля в центре витка радиусом = 8 см равна = 30 А/м. Определите напряженность магнитного поля: а) на оси витка в точке, расположенной на расстоянии = 6 см от его центра, б)в центре витка, если ему придать форму квадрата, не изменяя тока в нем.
(Ответ: а)15,4 А/м; б)38,6 А/м).
2. Прямой бесконечный провод имеет круговую петлю радиусом = 8 см (рис. 8). Определите напряженность поля: а) на оси витка в точке, расположенной на расстоянии = 6 см от центра; б) в центре витка, если ему придать форму квадрата, не изменяя тока в нем.
(Ответ: ).
3. Четыре цилиндрических проводника идут параллельно друг другу, причем центры их поперечных сечений образуют квадрат со стороной = 20 см. По каждому проводу течет ток = 20 A. Рассмотреть три варианта направления токов. Определить величину и направление вектора в центре квадрата.
(Ответ: вектор направлен вверх).
4. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом 10 см течет ток. Чему равна сила тока, если магнитная индукция поля в точке А (рис. 9) равна 1 мкТл? Угол = 10°.
(Ответ: ).
Рис. 8 |
Рис. 9 |
5. Два длинных параллельных провода находятся на расстоянии = 5 см один от другого. По проводам текут в противоположных направлениях одинаковые токи 10 А каждый. Найти напряженность магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии = 2 см от одного и = 3 см от другого провода.
(Ответ: 132 А/м).
6. Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под прямым углом (рис. 10). По проводам текут токи = 80 A и = 60 А. Расстояние между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников. (Ответ: ). |
|
7. По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом , течет ток = 50 А. Найти магнитную индукцию в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от его вершины на расстояние = 5 см.
(Ответ: ).
8. Бесконечно длинный тонкий проводник с током = 10 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом = 10 см. Определить в точке О магнитную индукцию поля, создаваемого этим током, в случае, изображенном на рис. 11. (Ответ: ). |
|
9. Бесконечно длинный тонкий проводник с током = 10 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом = 10 см. Определить в точке О магнитную индукцию поля, создаваемого этим током, в случае, изображенном на рис. 12
(Ответ: ).
Рис. 12
10. По плоскому контуру из тонкого провода течет ток = 100 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке О, в случае, изображенном на рис.13. Радиус изогнутой части равен 20 см. (Ответ: ). |
|
11.По плоскому контуру из тонкого провода течет ток = 100 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке О, в случае, изображенном на рис. 14. Радиус изогнутой части равен 20 см. (Ответ: ). 12. Бесконечный прямолинейный провод согнут в одной точке под прямым углом. По проводу идет ток 100 А. Вычислить магнитную индукцию в точке, находящейся внутри угла на его биссектрисе и удаленной от вершины угла на расстояние = 10 см. (Ответ: 0,48 мТл). |
|
13. Чему равна индукция магнитного поля в центре квадратной рамки, по которой циркулирует ток 20 А? Длина стороны рамки = 15 см.
(Ответ: 0,15 мТл).
14. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Как изменилась магнитная индукция в центре контура?
(Ответ: увеличилась в 1,15 раз).
15. Сравните магнитную индукцию в центре витков кольца и квадрата, по которым течет одинаковый ток и они имеют одинаковую площадь.
(Ответ: Индукция поля в центре квадратного контура больше в 1,02 раза).
16. Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см в точке, расположенной на расстоянии 25 см от центра кольца, если сила тока, текущего по кольцу, равна 10 А.
(Ответ: ).
17. По прямому, бесконечно длинному проводнику течет ток = 3 А. Круговой виток с током = 5 А и радиусом = 30 см расположен так, что плоскость витка параллельна проводнику, а перпендикуляр, опущенный на проводник из центра витка, является нормалью к плоскости витка. Определите магнитную индукцию в центре витка, если расстояние от провода до центра витка = 25 см.
(Ответ: ).
18. Длинный, прямой соленоид с густотой витков 10 см-1 намотан на картонный каркас. По его виткам идет ток = 5 A. Определите индукцию поля: внутри соленоида вблизи его середины и в центре одного из оснований.
(Ответ: ).
19. Обмотка катушки диаметром 10 см состоит из плотно прилегающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определите минимальную длину катушки, при которой напряженность в середине ее отличается от напряженности бесконечно длинного соленоида, содержащего такое же количество витков на единицу длины, не более чем на 0,5 %. Ток, протекающий по обмотке в обоих случаях одинаков.
(Ответ: = 1 м).
20. Определите отношение длины к среднему диаметру обмотки цилиндрической катушки , при котором, не допуская погрешности свыше 1 %, можно для определения напряженности магнитного поля в центре этой катушки пользоваться расчетной формулой для бесконечно длинной катушки.
(Ответ: ).
21. Индукция магнитного поля в центре соленоида длиной = 32 см и диаметром = 1,2 см должна составлять = 0,1 Тл. Сколько витков должна иметь обмотка, если сила тока в ней = 11,1 A.
(Ответ: 2,29 ·103).
22. Какова индукция магнитного поля в центре соленоида длиной = 22 см и диаметром = 1,2 см, если обмотка имеет 2500 витков, а протекающий по ней ток = 10 A?
(Ответ: 1,25 Тл).
23. Показать, что поле в точке соленоида, находящейся на расстояниях и от двух его концов так, что длина соленоида ( ) определяется выражением , где – диаметр соленоида.
24. Тороид прямоугольного сечения содержит 500 витков. Наружный диаметр тороида = 20 см, внутренний = 10 см. Ток, протекающий по обмотке, = 2,5 A. Определите максимальное и минимальное значение индукции в тороиде.
(Ответ: = 5·10-3 Тл, =2,5·10-3 Тл).
25. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора , индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 100 витков, протекает ток 1 А. Внешний радиус тороида равен 25 см, внутренний – 15 см.
(Ответ: = 0,1мТл; = 79,6 А/м).
26. По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью = 2 MA/м2. Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом R = 5 мм, проходящей внутри проводника и ориентированной так, что её плоскость составляет угол с вектором плотности тока.
(Ответ: ).
27. Диаметр тороида без сердечника по средней линии равен 30 см. В сечении тороид имеет круг радиусом = 5 см. По обмотке тороида, содержащей = 2000 витков, течет ток = 5 A (рис. 15). Пользуясь законом полного тока, определить максимальное и минимальное значение магнитной индукции в тороиде. 28. Требуется получить напряженность магнитного поля = 1кА/м в соленоиде длиной = 20 см и диаметром = 5 см. Найти число ампер-витков , необходимое для этого соленоида, и разность потенциалов , которую надо приложить к концам обмотки из медной проволоки диаметром = 0,5 мм. Считать поле соленоида однородным. (Ответ: = 200 А·вит; = 2,7 В). 29. Найти распределение напряженности магнитного поля вдоль оси соленоида, длина которого = 3 см и диаметр = 2 см. По соленоиду течет ток = 2 A. Катушка имеет = 100 витков. Составить таблицу значений и построить график для значений в интервале см через каждые 0,5 см. |
|
30. Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид, внутри которого напряженность поля должна быть равна 23,9·103 А/м. Предельная сила тока, которую можно пропускать по проволоке, равна 6 А. Из какого числа слоев будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с её длиной.
(Ответ: из 4-х слоев).