- •Электромагнетизм Сборник задач по физике
- •1. Постоянное магнитное поле в вакууме
- •1.1. Закон Био-Савара-Лапласа, его применение к расчету магнитных полей. Закон полного тока. Магнитное поле соленоида и тороида
- •1.2. Магнитный момент. Магнитный поток. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле
- •2.1. Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле
- •2.2. Действие магнитного поля на проводник с током. Сила Ампера. Контур с током в магнитном поле
- •3. Магнитное поле в веществе
- •4. Явление электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла
- •4.1. Закон электромагнитной индукции. Самоиндукция. Индуктивность
- •4.2. Взаимная индукция. Энергия магнитного поля. Уравнения Максвелла
- •Основные физические постоянные
- •Зависимость между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля железа
- •Основные физические постоянные
2.1. Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле
Основные формулы
Сила, действующая на электрический заряд , движущийся со скоростью в магнитном поле
, (18)
где – вектор магнитной индукции поля.
Модуль силы, действующей на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле
, (19)
где – модуль заряда частицы; – модуль вектора скорости; – модуль вектора индукции магнитного поля, – угол между векторами и .
Направление силы определяется по правилу левой руки:
если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор магнитной индукции , а четыре вытянутых пальца направить вдоль скорости движения положительного заряда (против направления движения отрицательного заряда), то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы, действующей на заряд.
Если заряд движется в области, где существуют одновременно электрическое и магнитное поля, то на него действует полная сила
, (20)
формула (20) называется формулой Лоренца.
Методические рекомендации
1. Полная электромагнитная сила (сила Лоренца), действующая на заряд, определяется формулой (20). Данная формула справедлива как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей.
Эту силу разделяют на электрическую и магнитную составляющие. Если заряженная частица находится только в магнитном поле, то силу, определяемую выражением (18), обычно и называют силой Лоренца.
Важная особенность силы Лоренца – она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда и поэтому не совершает над зарядом работы. Следовательно, в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда постоянна.
Разделение полной электромагнитной силы на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета, так как магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой, а значит, меняется и электрическая составляющая.
2. Под действием силы Лоренца заряженные частицы движутся в магнитном поле по криволинейным траекториям. Характер движения частицы в магнитном поле зависит от угла между первоначальным направлением скорости движения частицы и направлением линий индукции магнитного поля.
Если скорость частицы перпендикулярна линиям магнитной индуции, то частица движется по круговой траектории (рис. 23).
Радиус окружности траектории
;
Рис. 23
период вращения частицы по окружности:
,
где – масса частицы; – модуль скорости частицы; – модуль вектора индукции магнитного поля; – модуль электрического заряда.
Если заряженная частица движется вдоль линий магнитной индукции, сила Лоренца на нее не действует и характер ее движения не меняется.
Если угол между первоначальным направлением скорости частицы и линиями магнитной индукции не равен ни 0°, ни 90°, ни 180°, траектория движения частицы представляет собой винтовую линию, накручивающуюся на линии магнитной индукции (рис. 24).
Рис. 24
– тангенциальная составляющая скорости ; ;
– нормальная составляющая скорости; ;
– шаг винтовой линии; .
3. При движении заряженной частицы в области пространства, занятой одновременно и электрическим и магнитным полями характер ее движения зависит от направления этих полей и величины сил, действующих с их стороны, а также от скорости частицы.
► Векторы и взаимно-перпендикулярны и скорость положительно заряженной частицы перпендикулярна силовым линиям этих полей. В этом случае на частицу действуют две силы: электрическая и магнитная , которые могут быть как сонаправлены, так и противоположно направлены. Если силы противоположно направлены и равны по модулю ( ), то частица будет двигаться равномерно и прямолинейно, согласно первому закону Ньютона.
В случае если силы не уравновешивают друг друга, то движение частицы будет сложным: она будет двигаться с ускорением вдоль линии напряженности электрического поля и совершать вращательное движение вокруг линии индукции магнитного поля.
Если силы, действующие на движущуюся заряженную частицу сонаправлены, то движение частицы также будет представлять суперпозицию двух движений: прямолинейного с ускорением вдоль линий вектора и вращательного вокруг линий вектора .
► Частица влетает в область пространства параллельно векторам и . В этом случае на нее действует только электрическая сила (сила Лоренца , так как и ). Под действием этой силы частица движется прямолинейно с ускорением .
Примеры решения задач
Пример 1. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 20 мкТл перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Сколько оборотов в секунду будет делать протон в магнитном поле?
Решение
На заряженную частицу в магнитном поле действует сила
, (а)
где – заряд частицы, – индукция магнитного поля, – скорость частицы, – угол между векторами и .
В данной задаче , значит протон будет двигаться в магнитном поле по окружности радиуса с центростремительным (нормальным) ускорением
(б)
По второму закону Ньютона
, (в)
где – масса частицы.
Приравнивая правые части выражений (б) и (в), с учетом формулы (а), получаем
, (г)
так как , то после небольшого преобразования получаем
. (д)
С другой стороны,
, (е)
где – угловая скорость.
Получаем
. (ж)
Приравняем правые части уравнений (д) и (л), получим
,
откуда выразим – частоту вращения, т. е. число оборотов в секунду,
. (и)
Размерность: .
Подставляем числовые значения в формулу (и):
.
Вычисления дают .
Пример 2. Электрон, имеющий скорость 8·106 м/с, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 31,4 мТл под углом 30° к его направлению. Определите радиус и шаг винтовой линии, по которой будет двигаться электрон (рис. 24).
Решение
Скорость разложим на две составляющие: тангенциальную , параллельную линиям индукции магнитного поля и нормальную , перпендикулярную им,
; (а)
. (б)
На электрон действует магнитная сила (благодаря нормальной составляющей скорости)
. (в)
Под действием этой силы электрон будет двигаться по окружности радиуса , который можно найти из условия:
, (г)
так как сила Лоренца является центростремительной силой.
Из формулы (г) получаем
, (д)
где – модуль заряда электрона; – масса электрона; – индукция магнитного поля.
Вдоль силовых линий поля магнитная сила не действует, поэтому частица движется прямолинейно с постоянной скоростью .
В результате суперпозиции двух движений электрон будет двигаться по винтовой линии радиусом и шагом винта :
, (е)
где – период движения по окружности,
. (ж)
С учетом формул (б), (д) и (ж), уравнение (е) принимает вид:
. (и)
Размерность: .
Подставляем числовые данные в выражение (и):
.
Вычисления дают:
.
Пример 3. Перпендикулярно магнитному полю с индукцией 0,1 Тл возбуждено электрическое поле напряженностью 1·105 В/м. Перпендикулярно обоим полям, не отклоняясь от прямолинейной траектории, движется заряженная частица. Найти скорость этой частицы (рис. 25). Решение Согласно условию задачи, частица движется равномерно и прямолинейно ( ). По первому закону Ньютона геометрическая сумма сил, действующих на частицу, равна нулю. В данном случае на частицу действует сила Лоренца , где – электрическая составляющая силы Лоренца, – её магнитная составляющая (рис. 25). |
|
Следовательно, , т. е. электрическая и магнитная силы равны по модулю и противоположно направлены:
откуда скорость частицы равна:
Согласно условию ( ), поэтому
.
Размерность:
.
Подставляем числовые данные: .
Получаем при вычислении: .
Пример 4. Электрон влетает со скоростью 600 м/с в область пространства, где имеются сонаправленные однородные электрическое и магнитное поля, под углом 60° к силовым линиям полей. Напряженность электрического поля 0,2 кВ/м, индукция магнитного поля 20 мТл. С каким ускорением станет двигаться электрон в этой области пространства? (рис. 26). Решение Согласно второму закону Ньютона, ускорение электрона имеет вид: , где – сила Лоренца, действующая на электрон со стороны электрического и магнитного полей; – масса электрона. Сила Лоренца определяется по формуле |
|
,
где – электрическая составляющая силы Лоренца; – её магнитная составляющая (рис. 26).
Вектор направлен противоположно вектору , так как заряд электрона отрицательный. Вектор магнитной силы перпендикулярен вектору магнитной индукции. Следовательно, векторы и взаимно-перпендикулярны.
Модуль силы находится по теореме Пифагора:
,
где – модуль заряда электрона (элементарный заряд).
Ускорение
.
Направление совпадает с направлением вектора , определяемом по правилу сложения векторов.
Подставим числовые значения:
= 600 м/с; = 60°; = 0,2 кВ/м = 200 В/м; = 20 мТл = 2·10-2 Тл; = 1,6 ·10-19 Кл; = 9,11·10-31 кг.
Вычисления дают: = 3,5 ·1013 м/с2.
Пример 5. Шарик массой , заряженный положительным зарядом и подвешенный на нити длиной , движется по окружности в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией. Определите кинетическую энергию шарика, если во время движения нить образует угол с вертикалью.
Решение
Выберем систему отсчета x0y, начало которой поместим в ту точку пространства, где находится шарик в начальный момент времени. Предположим, что нить – невесома, нерастяжима и неэлектропроводна. Заряженный шарик примем за материальную точку. Заряд шарика будем считать точечным.
На шарик действуют сила тяжести , сила натяжения нити и сила со стороны магнитного поля (рис. 27).
|
|
По второму закону Ньютона
. (а)
Направление всех сил указано на рис. 27 в предположении, что вектор магнитной индукции направлен вверх, а шарик движется по часовой стрелке.
Запишем уравнение (а) в проекциях на выбранные оси координат
; (б)
. (в)
После преобразования, получаем
; (г)
. (д)
Разделим (г) на (д), получим
. (и)
Шарик движется с нормальным ускорением , (к)
где – линейная скорость шарика по окружности, – радиус окружности.
Из чертежа следует:
. (л)
Сила Лоренца определяется выражением
, (м)
где = 90° (по условию задачи),
С учетом выражений (к)–(м) уравнение (и) принимает вид:
,
или
.
Решаем квадратное уравнение относительно переменной :
,
получаем
.
Так как модуль скорости > 0, то из последнего выражения следует:
.
Кинетическая энергия определяется соотношением:
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Пучок электронов движется в вакууме в магнитном поле с напряженностью 5,56·103 А/м по окружности радиусом 3 см. Определите скорость и энергию электронов, период обращения и момент импульса.
(Ответ: = 36,3·106 м/с; = 33·10-23 Дж; = 5·10-9 с; = 99·10-26 (кг·м2)/с).
2. В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл по окружности движется электрон. Найти величину эквивалентного кругового тока, созданного движением электрона.
(Ответ: = 4,5·10-10 А).
3. Однозарядный ион натрия прошел ускоряющую разность потенциалов 1 кВ и влетел в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл перпендикулярно силовым линиям поля. Определите относительную массу иона, если он описал окружность радиусом 4,37 см.
(Ответ: 23 а.е.м.).
4. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В, влетел в однородное магнитное поле с напряженностью 2,4·104 А/м перпендикулярно линиям магнитной индукции. Найти радиус описанной протоном окружности, его импульс и частоту вращения протона в магнитном поле.
(Ответ: = 0,33 м; = 18·10-21 Н·с; = 3·103с-1).
5. Два иона, имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую ускоряющую разность потенциалов, влетели в однородное магнитное поле. Первый ион движется по дуге окружности радиусом 5 см, второй – по дуге окружности радиусом 2,5 см. Определите отношение масс ионов.
(Ответ: ).
6. Электрон влетает в область магнитного поля ширины . Скорость электрона перпендикулярна как индукции поля, так и границам области. Под каким углом к границам области электрон вылетит из магнитного поля?
(Ответ: , если ; рад, если ).
7. Предполагая, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите радиусом 53 пм, определите период обращения электрона вокруг ядра и индукцию магнитного поля, создаваемого движущимся электроном в центре его орбиты.
(Ответ: = 1,5·10-16 с; = 12,45 Тл).
8. Частица, имеющая элементарный заряд, влетает в однородное магнитное поле под углом 45° к линиям индукции и движется по винтовой линии с шагом 2 см. Определите импульс частицы, если индукция поля равна 10-2 Тл.
(Ответ: = 7,2·10-24 кг·м/с).
9. Электрон, кинетическая энергия которого 1,5 МэВ, движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл. Определите период обращения электрона.
(Ответ: = 7 нс).
10. Электрон в однородном магнитном поле движется по винтовой линии радиусом 5 см и шагом 20 см. Определить скорость электрона, если индукция магнитного поля 0,1 Тл.
(Ответ: = 1,04 Мм/с).
11. Протон, находящийся в магнитном поле с индукцией 20 мТл описывает окружность радиусом 40 см. Найти импульс протона и его кинетическую энергию.
(Ответ: = 1,3·10-21 кг·м/с; = 5·10-16 Дж).
12. Протон и альфа-частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям. Во сколько раз различаются радиусы окружностей, по которым движутся эти частицы, если у них одинаковы: а) скорость; б) кинетическая энергия? Заряд альфа-частицы в два раза больше заряда протона, а масса альфа-частицы в четыре раза больше массы протона.
(Ответ: (а) ; б) ).
13. В масс-спектрографе заряженная частица, пролетев без начальной скорости ускоряющую разность потенциалов , влетает в однородное магнитное поле индукцией перпендикулярно магнитным линиям. Удельный заряд частицы . Определить диаметр окружности , по которой стала двигаться частица.
(Ответ: ).
14. В вертикальном направлении создано однородное магнитное поле индукцией . Шарик массой и зарядом , подвешенный на нити длиной , движется по окружности так, что нить составляет угол с вертикалью. Найти угловую скорость движения шарика.
(Ответ: ).
15. Однозарядные ионы гелия и водорода, ускоренные из состояния покоя в электрическом поле напряжением 2 кВ, влетают вместе в магнитное поле индукцией 100 мТл перпендикулярно магнитным линиям. Описав полуокружность, они попадают на фотопластинку. Найти расстояние между следами этих ионов на фотопластинке.
(Ответ: = 1,3 см).
16. Электрон с кинетической энергией 1 кэВ попал в однородное магнитное поле с индукцией 21 мТл и стал двигаться по окружности. Определить магнитный момент эквивалентного кругового тока.
(Ответ: = 7,6·10-15 А·м2).
17. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии 4 мм от него. Какая сила действует на электрон, если по проводнику пропустить ток силой 5 А?
(Ответ: = 4·10-16 Н).
18. Электрон влетает в однородное магнитное поле, направление которого перпендикулярно к направлению его движения. Скорость электрона 4·107 м/с. Индукция магнитного поля 1 мТл. Найти тангенциальное и нормальное ускорения электрона в магнитном поле. (Ответ: = 0; = 7·1015 м/с2). 19. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов 300 В, влетает в однородное магнитное поле, направленное от чертежа «к нам» (рис. 28). Ширина поля = 2,5 см. В отсутствие магнитного поля пучок электронов дает пятно в точке А флуоресцирующего экрана, расположенного на расстоянии = 5 см от края полюсов магнита. При включении магнитного поля пятно смещается в точку В. Найти смещение x = АВ пучка электронов, если известно, что индукция магнитного поля 14,6 мкТл. |
|
(Ответ: x = 4,9 см).
20.
В установке для разделения изотопов U235 и U238 пучок однократно ионизованных ускоренных ионов с энергией 5 кэВ попадает от источника через щель S (рис. 29) в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка. В магнитном поле ионы разных масс движутся по различным окружностям и, совершив полуоборот, попадают в приемники. Конструкция последних должна быть такова, чтобы расстояние между пучками изотопов на выходе было не меньше = 5 мм. Каково должно быть магнитное поле, удовлетворяющее этому условию? (Ответ: 4000 Гс). |
|
21. В конденсаторе, электроды которого составляют часть коаксиальных цилиндрических поверхностей радиусами 5 и 6 см, вдоль оси цилиндров действует однородное магнитное поле с индукцией 0,2 Тл (рис. 30). Через узкую щель в диафрагме АА в конденсатор влетает α-частица с энергией 1 кэВ. Какую разность потенциалов следует создать между электродами конденсатора, чтобы α-частица прошла посередине между электродами? (Внешний электрод имеет отрицательный потенциал).
(Ответ: = 38,5 В).
22. В магнетроне анод представляет металлический цилиндр радиусом =1 см, а катод – металлическую нить радиусом , расположенную по оси цилиндра (рис. 31). Постепенно увеличивая индукцию магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра, добились того, что при анодном напряжении 100 В и индукции 6,7·10-3 Тл анодный ток стал равен нулю. Какое значение удельного заряда получается по результатам этого опыта?
(Ответ: = 1,76·1011 Кл/кг).
Рис. 30 Рис. 31
23. Магнитное поле напряженностью 8 кА/м и электрическое поле напряженностью 1 кВ/м направлены одинаково. Электрон влетает в электромагнитное поле со скоростью 105 м/с. Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорение электрона. Задачу решить для случая, когда скорость электрона направлена параллельно силовым линиям полей.
(Ответ: = 0; = 1,76·1014 м/с2).
24. Магнитное поле напряженностью 8 кА/м и электрическое поле напряженностью 1 кВ/м направлены одинаково. Электрон влетает в электромагнитное поле со скоростью 105 м/с. Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорение электрона. Задачу решить для случая, когда скорость электрона направлена перпендикулярно силовым линиям полей.
(Ответ: = 0; = 2,5·1014 м/с2).
25. Магнитное поле с индукцией 0,5 мТл направлено перпендикулярно электрическому полю напряженностью 1 кВ/м. Электрон влетает в электромагнитное поле перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы и . Найти скорость электронов, если при одновременном действии обоих полей пучок не испытывает отклонения. Каким будет радиус траектории движения электронов при условии включения одного магнитного поля?
(Ответ: = 2·106 м/с; = 2,3 см)
26. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 107 м/с. Длина конденсатора 5 см. Напряженность электрического поля конденсатора 10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное к электрическому. Индукция магнитного поля 10 мТл. Найти радиус и шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле.
(Ответ: = 5 мм; = 3,6 см).
27. Протон влетел в скрещенные под углом 120° магнитное и электрическое поля. Определить ускорение протона, если его скорость 4·105 м/с перпендикулярна векторам и , напряженность электрического поля 20 кВ/м, индукция магнитного поля 50 мТл.
(Ответ: = 3,3·1012 м/с2)
28. Через сечение алюминиевой пластинки ( – толщина, – высота) пропускается ток = 5 А. Пластинка помещена в магнитное поле, перпендикулярное к ребру и направлению тока. Найти возникающую при этом поперечную разность потенциалов. Индукция магнитного поля = 0,5 Тл. Толщина пластинки = 0,1 мм. Концентрацию электронов проводимости считать равной концентрации атомов.
(Ответ: = 2,7 мкВ).
29. Через сечение медной пластинки ( – толщина, – высота) пропускается ток = 20 А. При помещении пластинки в магнитное поле, перпендикулярное к ребру и направлению тока, возникает поперечная разность потенциалов = 3,1 мкВ. Индукция магнитного поля = 1 Тл. Найти концентрацию электронов проводимости в меди и их скорость при этих условиях.
(Ответ: = 8,1 ·1028 м-3; = 0,31 мм/с).
30. Заряженная частица, двигаясь перпендикулярно скрещенным под прямым углом электрическому ( = 400 кВ/м) и магнитному ( = 0,25 Тл) полям, не испытывает отклонений от своей траектории при определенной скорости. Определить эту скорость и возможные отклонения от нее, если значения индукции магнитного и напряженности электрического полей могут быть обеспечены с точностью, не превышающей 0,2 %.
(Ответ: = 1,6·106 м/с; = 6,4 ·103 м/с).