Операции с матрицами. Основные виды матриц

В математике матрицей называют прямоугольную таблицу значений, упорядоченных по строкам и столбцам, например, матрица A размера n  m имеет вид:

,

где a_ij – элемент матрицы А, расположенный в i-ой строке j-ого столбца; m, n – количество строк и столбцов матрицы соответственно.

Матрица характеризуется размерностью, то есть произведением числа строк на число столбцов.

Элементы a_ii (i = j) образуют главную диагональ матрицы А.

Если количество строк и столбцов матрицы совпадают, т.е. n = m то матрицу называют квадратной, если не совпадают – прямоугольной матрицей.

Матрица размером 1  m называется вектором-строкой, размера n  1 – вектором столбцом.

Нулевой называется матрица у которой элементы a_ij = 0.

Единичной называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а все остальные элементы равны 0.

Диагональной является квадратная матрица, где все элементы (кроме элементов, расположенных на главной диагонали) равны 0, т.е. a_ij = 0 при i  j.

Квадратная матрица A размерностью n  n называется симметричной (симметрической), если a_ij = a_ji.

Треугольной называется матрица порядка n  n, у которой одна часть элементов (либо над главной диагональю, либо под ней) равна 0.

Транспонированной матрицей A^T, называется матрица у которой строки полностью совпадают со столбцами исходной матрицы А, а столбцы – со строками матрицы А.

Основные операции с матрицами

Операции над матрицами определяются с помощью операций над их элементами:

1. Две матрицы А и В размерностью n  m равны друг другу (А = В) в том случае, если a_ij = b_ij;

2. Сумма матриц А и В размерностью n  m есть матрица C(n  m), то есть С = A + B = (a_ij + b_ij) = c_ij, где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m;

3. Произведение матрицы А на скаляр  – есть матрица С =   A = (  a_ij) = c_ij;

4. Произведение матрицы А размерностью n  m на матрицу В размерностью m  r – есть матрица С размерностью n  r, то есть , где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m.

Ввод матриц

1. Блок схема формирования произвольной матрицы А размерностью (n  m) приведена на рис 3.

2. Блок-схема формирования нулевой матрицы А размерностью (n  m) приведена на рис. 4.

3. Блок-схема формирования единичной матрицы А размерностью (n  n) приведена на рис. 5.

Рис. 3. Блок-схема формирования произвольной матрицы А(n × m)

Рис. 4. Блок-схема формирования нулевой матрицы А(n  m)

4. Блок-схема формирования диагональной матрицы А размерностью (n  n) приведена на рис. 6.

5. Блок-схема формирования симметричной матрицы А размерностью (n  n) представлена на рис. 7.

6. Блок-схема формирования треугольной матрицы А размерностью ( n  n ) представлена на рис. 8, 9.

Рис. 5. Блок-схема формирования единичной матрицы А(n  n)

Рис. 6. Блок-схема формирования диагональной матрицы А(n  n)

Рис. 7. Блок-схема формирования симметричной матрицы А(n  n)

Рис. 8. Блок-схема формирования треугольной матрицы А(n  n) с нулями под главной диагональю

Рис. 9. Блок-схема формирования треугольной матрицы А(n  n) с нулями над главной диагональю