Временные характеристики

Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции.

Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или отдельного звена W(р) и известен входной сигнал X(t), то выходной сигнал y(t) определяется следующим соотношением:

Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изобра­жение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получился после перехода от изображения к оригиналу y(t). Для большинства случаев линейных систем и составных элементов разработаны таблицы, позволяющие производить переход от изображений к оригиналу и обратно. В данном разделе представлена таблица 3.1 переходов для наиболее распространенных случаев.

Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно 1/p, то изображение переходной функции определяется соотношением:

Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на p и выполнить переход от изображения к оригиналу.

Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:

Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.

Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.

Изображения по Лапласу и оригиналы Таблица 3.1

Изображение	Оригинал f(t)
1
	, , ,
	, , , ,

Частотные характеристики

В условиях реальной эксплуатации САУ часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САУ, если на один из входов подается периодический сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим путем. При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САУ (по управлению или по возмущению). Возможно также определение частотных характеристик исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.

Если задана передаточная функция W(р), то путём подставки р=j получаем частотную передаточную функцию W(j), которая является комплексным выражением, т.е. , где U() - вещественная составляющая , а V() - мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме (АФХ):

(3.2)

где - модуль частотной передаточной функции; - аргумент частотной передаточной функции.

Функция А(), представленная при изменении частоты от 0 до , получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).

Функция (), представленная при изменении частоты от 0 до , называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Таким образом, дифференциальное уравнение движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывает изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.

Частотная передаточная функция W(j) может быть представлена на комплексной плоскости. Графическое отображение для всех частот спектра отношений выходного сигнала САУ к входному, представленных в комплексной форме, будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФХ) или годограф Найквиста. Величина отрезка от начала координат до каждой точки годографа показывает, во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного - АЧХ, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до упомянутого отрезка - ФЧХ. При этом отрицательный фазовый сдвиг пред­ставляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.

Для упрощения графического представления частотных характерис­тик, а также для облегчения анализа процессов в частотных областях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л.а.х.) и логариф­мическая фазовая частотная характеристика (л.ф.х.). При построе­нии логарифмических характеристик на шкале частот вместо  откладывается lg и единицей измерения является декада. Де­кадой называется интервал частот, соответствующий изменению час­тоты в 10 раз. При построении л.а.х. на оси ординат единицей из­мерения является децибел [дБ], который представляет собой соотношение L=20 lg А(). Один децибел представляет собой увеличение амплитуды выхода в раз. Верхняя полуплоскость л.а.х. соответствует значениям А  1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям А  1 (ослабление амплитуды). Точка пересечения л.а.х. с осью абсцисс соответствует частоте среза _ср, при которой амплитуда выходного сигнала равна входной.

Для л.ф.х. на оси частот используется логарифмический масштаб, а для углов - натуральный масштаб. На практике логарифмические частотные характеристики строятся на совмещённой системе координат, которые представлены на рис. 3.2.

Рис 3.2. Схема координат для логарифмических характеристик

Главным достоинством логарифмических частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Особенно удобно использовать логарифмические частотные характеристики при анализе всей системы, когда результирующая передаточная функция после разложения на множители приводится к виду:

, (3.3)

т.е. передаточную функцию любой САУ в общем случае можно представить как произведение передаточных функций следующего вида:

где K_r, r, T,  - постоянные величины, причём K_r>0, r>0, T>0, 0<<1.

В этом случае построение л.а.х. производится по выражению

L()=20lgA()=20lgW(j)=20lgk +20lg(1/^r)+ +

+

Построение л.ф.х. производится по выражению

()=

Таким образом, результирующая л.а.х. определяется суммированием л.а.х. составляющих типовых звеньев, а результирующая л.ф.х. - соответственно суммированием л.ф.х. составляющих типовых звеньев.

П р и м е р. Построить л.а.х. и л.ф.х. системы, описываемой передаточной функцией

W(p)=100/(0.1p+1)(0.01p+1).

Р е ш е н и е . Представим передаточную функцию в виде произведения элементарных звеньев

Низкочастотный участок л.а.х. пойдет с наклоном 0 дБ/дек на уровне 20lg 100 = 40дБ. Частоты сопряжения для апериодических составляющих будут соответственно ₁=1/0.1=10 и ₂=1/0.01=100. Фазочастотная характеристика строится в соответствии с уравнением ()= arctg 0.1  + arctg 0.01 . Ниже представлены графики л.а.х. и л.ф.х., соответствующие заданной передаточной функции.

В том случае, когда работа отдельного устройства или системы в целом не может быть точно описана дифференциальными уравнениями, возможно экспериментальное определение динамических характеристик.

Экспериментальные методы определения динамических характеристик звеньев и систем делятся на два класса: методы определения временных характеристик объекта управления и методы определения частотных характеристик объекта управления. Временные методы определения динамических характеристик делятся, в свою очередь, на активные и пассивные. Активные методы предполагает подачу на вход объекта пробных тестирующих сигналов – детерминированных или случайных. В зависимости от вида пробного сигнала выбирают соответствующие методы обработки выходного сигнала системы. Так, например, при подаче ступенчатого управляющего сигнала, снимают кривую разгона (переходную характеристику), а при подаче  - функции снимают кривую отклика (функцию веса). Кривая отклика снимается для устройств, не допускающих подачу на вход ступенчатых сигналов. 

Достоинствами активных методов являются:

• достаточно высокая точность получения математического описания;

• относительно малая длительность эксперимента. Следует учитывать, что активные методы, в той или иной степени, приводят к нарушению нормального хода технологического процесса. Поэтому проведение эксперимента должно быть тщательно спланировано. 

В пассивных методах на вход объекта не подаются никакие пробные сигналы, а лишь фиксируется естественное движение объекта в процессе его нормального функционирования. Полученные реализации массивов данных входных и выходных сигналов обрабатываются статистическими методами. По результатам обработки получают параметры передаточной функции объекта.

Такие методы имеют ряд недостатков:

• малая точность получаемого математического описания;

• необходимость накопления больших массивов данных с целью повышения точности;

• если эксперимент проводится с устройством, охваченным обратной связью, то наблюдается эффект корреляции (взаимосвязи) между входом и выходом устройства через регулятор. Такая взаимосвязь снижает точность математического описания.

Частотные методы определения динамических характеристик предполагают, что на вход минимально-фазового устройства подается гармонический сигнал с известной частотой и амплитудой. Модуль амплитудно-фазовой характеристики определяется как отношение амплитуды выходной гармоники к амплитуде входной. Фазовая характеристика характеризует фазовый сдвиг между этими гармониками на различных частотах пробного сигнала. Эти характеристики могут определяться непосредственно по графикам входного и выходного сигналов устройств, либо методом синхронного детектирования. Частотные методы определения динамических характеристик проводятся в два этапа: на первом этапе определяется АФХ или л.а.х., а на втором - передаточная функция. Амплитудно-фазовая характеристика объекта несет большую информацию об объекте, чем его кривая разгона. Таким образом, определение динамики объекта управления по его АФХ позволяет получить более точную динамическую модель, работающую в широком диапазоне частот. Однако при определении динамических характеристик объекта с помощью частотных методов следует учитывать, что они более трудоемки и требуют наличия специальной аппаратуры (низкочастотные генераторы периодических сигналов, регистрирующая аппаратура – двухлучевой осциллограф). Изменяя частоту входного сигнала в требуемом диапазоне, снимают осциллограммы и по ним определяют 20lg(А_вых/А_вх) и _i(_i). Полученные значения наносятся на полулогарифмическую бумагу соответствующими точками и через них проводятся прямые с типовыми наклонами. В точках пересечения этих прямых находятся соответствующие параметры исследуемого устройства или системы.

П р и м е р. Определить передаточную функцию минимально-фазового устройства, л.а.х. которого представлена ниже

Р е ш е н и е. Двигаясь по л.а.х. в направлении возрастания частоты определяем, что звено принадлежит к дифференцирующему типу, т.к. наклон низкочастотного участка равен +20дБ/дек (+1). Передаточная функция равна W(p)=0.2p. При частоте излома л.а.х. =50 наклон меняется на -20дБ/дек (-1). Очевидно добавлены два звена с передаточной функцией каждого звена

Тогда суммарная передаточная функция, соответствующая заданной л.а.х., будет иметь вид

Передаточные функции и временные характеристики типовых звеньев приведены в таблице 3.2. Частотные характеристики типовых звеньев приведены в таблице 3.3. В табл. 3.2 и 3.3 указаны лишь характеристики основных типовых звеньев. Кроме того существуют интегро-дифференцирующие звенья и неминимально-фазовые звенья. Интегро-дифференцирующие звенья имеют передаточные функции вида:

где k-постоянный коэффициент; R(p) и Q(p) - полиномы от p первого или второго порядков.

К неминимально-фазовым звеньям относятся неустойчивые звенья, передаточные функции которых имеют хотя бы один положительный полюс (отрицательное самовыравнивание) или положительный нуль. Одной амплитудной частотной характеристике неминимально-фазовых звеньев может соответствовать несколько различных фазовых частотных характеристик.

Например, звено с положительным полюсом имеет передаточную функцию вида (пример неустойчивого объекта):

.

Временные характеристики типовых звеньев Таблица 3.2.

Тип звена	Передаточные функции	Временные функции
Позиционные звенья
Усилительное	W=К	h(t)=K1(t) (t)=K(t)
Апериодическое 1-го порядка		,
Апериодическое 2-го порядка Т1 2Т2
Колебательное 0<<1		,
Консервативное		,
Интегрирующие звенья
Интегрирующее идеальное		h(t)=kt, (t)=k1(t)
Интегрирующее инерционное
Изодромное 1-го порядка	,	,
Изодромное 2-го порядка
Дифференцирующие звенья
Идеальное дифференцирующее	W=Kр
Дифференциру-ющее инерционное
Форсирующее 1-го порядка

Частотные характеристики звеньев Таблица 3.3

Частотная передаточная функция (АФХ)	Амплитудная А() и фазовая () частотные характеристики	Амплитудно-фазовая частотная характеристика
W(j)=K	А()=0 ()=0