Тема 2 Загальні принципи побудови моделей теу

2.1. Суть моделювання

Моделювання – це спосіб відображення або відтворення реального явища чи процесу (оригіналу) з метою вивчення його особливостей, якщо це неможливо зробити безпосередньо (великі розміри, буває рідко, дорого коштує, принципово неможливо, тощо). При моделюванні зберігають лише суттєві для даного явища чи процесу характеристики і нехтують несуттєвими. Тому модель завжди відрізняється від оригіналу саме тими ознаками, які унеможливлюють вивчення оригіналу безпосередньо. Наприклад, при геометричному моделюванні котла, ми робимо його модель меншою, але геометрично подібною до оригіналу, тобто ми зберегли зовнішню подібність, але знехтували внутрішньою структурою. Отже модель повинна бути в якомусь розумінні подібною (близькою) до оригіналу.

2.2. Види подібностей

Подібність явищ характеризується відповідністю (пропорційністю) величин моделі та оригіналу, що задіяні в досліджуваних явищах. Види подібностей:

Повна подібність – подібність всіх процесів моделі та оригіналу, що протікають у часі і просторі, які суттєві для явища, що вивчається.

Неповна подібність – виражається відповідністю процесів за їх зміною лише або у часі, або у просторі.

Приблизна подібність – може мати місце лише за деяких умов, які спрощують ситуацію, але вплив яких можна попередньо врахувати кількісно.

За суттю фізичної природи оригінала і моделі моделювання може бути:

• фізичним, в цьому випадку оригінал і модель відрізняються лише масштабами;

• аналоговим, фізична природа оригіналу і моделі різна, але параметри, що описують явища в оригіналі і моделі зв’язані одними математичними співвідношеннями і між ними існує однозначна відповідність;

• математичним, в цьому випадку фізичному оригіналу відповідають математичні конструкції (оператори).

Всі види подібностей підкоряються загальним правилам, що сформульовані як теореми подібностей.

3. Теореми подібностей

Умови за яких забезпечується подібність явищ та процесів у будь – яких галузях знань формулюються у вигляді теорем та правил подібності.

Перша теорема подібності:

У явищах, що подібні у певному розумінні, завжди можна знайти сполуки (комбінації) параметрів, які називаються критеріями подібності, що мають однакові значення як для оригіналу, так і для моделі.

Справедливо і зворотне: якщо критерії подібності мають однакове значення, то явища подібні.

Критерії подібності для механічних і теплових явищ подані нижче.

Друга теорема подібності:

Будь-яке рівняння фізичного процесу, яке записане в заданій системі одиниць, може бути представлене у вигляді залежності між безрозмірними комплексами параметрів цього рівняння.

Тобто, ця теорема, вказує на можливість заміни змінних у рівнянні (часом зі зменшенням їх числа) і перетворенням рівняння у критеріальне, яке часто простіше від початкового.

Але найголовніше те, що рівняння процесу у критеріальній формі дозволяє результати вивчення конкретного процесу поширювати на ряд подібних.

Третя теорема подібності:

Необхідними і достатніми умовами подібності явищ є пропорційність між параметрами, які вважаються подібними, і які входять в умови однозначності, а також рівність критеріїв подібності моделі та оригіналу.

Крім названих трьох теорем подібності існує ще декілька правил, які допомагають уникнути помилок при моделюванні.

Правило 1

Подібність складних систем, які складаються з декількох підсистем, які подібні між собою, забезпечується подібністю елементів, що є загальними для всіх підсистем. Звідси наслідок: подібність між системами зберігається і після однакових перетворень обох систем.

Правило 2

Всі теореми і умови подібності, що справедливі для систем різної складності, можуть бути поширені на нелінійні системи, або на системи зі змінними параметрами, якщо виконуються умови збіжності відносних характеристик схожих параметрів, що є нелінійними або змінними.

Правило 3

Умови подібності, що справедливі для однорідних і ізотропних систем, в яких фізичні властивості однакові у всьому просторі, можуть бути поширеними на анізотропні середовища, якщо анізотропність в оригіналі і моделі однакова.

Правило 4

Для геометрично різних систем між якими є нелінійна відповідність просторових точок, процеси можуть бути фізично подібними, якщо у схожих точках простору є така ж відповідність між параметрами процесу.

Правило 5

Всі умови подібності, що сформульовані для детермінованих систем, справедливі і для стохастичних за умови збіжності в цих системах густин ймовірностей схожих параметрів у відносних одиницях. При цьому дисперсії і математичні очікування всіх параметрів для подібних систем повинні бути однаковими.

Необхідна також схожість кореляцій параметрів, через які формуються умови однозначності.

Перелічені правила подібностей широко використовуються при моделюванні явищ і процесів у всіх галузях техніки та господарства.