Чувствительность байесовских решений

Под чувствительностью байесового решающего правила подразумевается чувствительность к изменению априорной информации .

Пусть задана некоторое распределение вероятностей , отражающее априорное представление о распределении вероятностей состояния окружающей среды, и пусть - соответствующее байесовское решение, т.е. .

Рассмотрим расстояние от точки до множества :

, т.е. евклидово расстояние в – мерном пространстве.

Тогда радиусом нечувствительности байесова решающего правила , определяемого точкой , можно назвать .

На рисунке ниже показан радиус нечувствительности байесова решающего правила , определяемого точкой , для и трех решающих правил.

Устойчивость байесовских решений

Под областью устойчивости байесова решения будем понимать область , расстояние от которой до любой области , больше , т.е.

, .

На рисунке ниже показана область устойчивости байесового решающего правила .

Тождество Абеля

Тождество Абеля имеет вид:

Доказательство: (по индукции)

База индукции: ( ):

.

Индукционный переход: ( ):

левая часть тождества равна: ;

правая часть тождества равна:

;

Покажем, что:

;

С учетом того, что ,

записываем равенство как: ;

тогда получаем, что .

Тождество Абеля, можно переписать в виде:

.

Достаточные условия превосходства решающего правила

Пусть при . Тогда . Если , то , где .

Достаточное условие превосходства решающего правила можно записать в виде: .

Если для решающее правило является байесовым, то можно говорить о его превосходстве над отдельными решающими правилами.

Используя тождество Абеля, получаем:

.

Тогда, если задано отношение порядка, то и, следовательно, .

Пример. Пусть задана таблица рисков.

	0	2	4	5
	6	1	1	4
	4	4	3	2

Пусть .

Сравним решающие правила и :

;

;

.

Сравним решающие правила и :

;

;

.

Достаточные условия превосходства решающего правила над решающими правилами и .

Достаточные условия превосходства решающего правила над решающим правилом не выполняются:

.

Решающие правила для задач (2х2)

Рассмотрим задачу обнаружения подвижного объекта с использованием радиолокационных средств. По результатам получаемых измерений необходимо определить наличие объекта или подтвердить его отсутствие в контролируемом пространстве. Множество возможных состояний контролируемого пространства , где означает, что объект находится в заданном пространстве, а означает, что объекта нет. Обозначим гипотезу о нахождении пространства в состоянии , и - гипотезу о нахождении пространства в состоянии . Вероятность нахождения пространства в состоянии и, соответственно, вероятность гипотезы равна : . Вероятность нахождения пространства в состоянии и, соответственно, вероятность гипотезы равна : .

Решающее правило определяет разбиение Ø, где . Решение - решение включить сирену и оповестить о наличии объекта, решение - не производить никаких действий.

С применением любого решающего правила связана возможность принятия ошибочного решения.