- •Программа государственного экзамена для специальности 010101.65 «Математика»
- •Алгебра и геометрия
- •Математический анализ
- •Теория функций комплексной переменной
- •Топология и функциональный анализ
- •Дифференциальные уравнения
- •Теория вероятностей
- •Задания, включенные в программу государственного квалификационного экзамена Раздел «Функциональный анализ и топология»
- •Раздел “Математический анализ”
- •Раздел “Теория функций комплексного переменного”
- •I. Действия над комплексными числами
- •II. Функции комплексного переменного. Понятие голоморфности
- •III. Свойства голоморфных функций. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •IV. Особые точки. Теория вычетов
- •Раздел «Уравнения с частными производными»
- •Раздел «Теория групп»
- •Раздел «Дифференциальные уравнения»
- •Раздел «Методы оптимизации»
- •Литература
Раздел “Математический анализ”
Докажите, что если сходится, то в ней есть или наибольший член, или наименьший, или тот и другой.
Докажите, что если , то среди ее членов есть наименьший.
Докажите, что для сходимости монотонной последовательности достаточно сходимости некоторой ее подпоследовательности.
Найти , если: а) ; б) ; в) ; г) .
Найти суммы рядов: а) ; б) .
Найти пределы: а) ( ); б) ; в) ; г) .
Найти интегралы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой: а) ; б) .
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью: а) ; б) .
Вычислить интегралы: а) ( ); б) ( ); в) ; г) .
Исследовать на сходимость числовые ряды: а) ; б) ; в) .
Исследовать на экстремум следующие функции многих переменных: а) , ; б) ; в) , если , .
Раздел “Теория функций комплексного переменного”
I. Действия над комплексными числами
Найти аргумент и модуль комплексного числа:
a) б) в) г) д)*
Найти все значения nN , для которых , где i- мнимая единица.
В плоскости комплексного переменного нарисовать множество точек z , удовлетворяющих условию
а) б) в)
г)
II. Функции комплексного переменного. Понятие голоморфности
4. Выяснить, голоморфны ли функции
а) б)
в) г)
5. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функций:
а) б) в)
6. Найти образ полуплоскости {zC: Im z>0} при отображении .
7. Найти образ окружности {z: } при отображении .
8*. Найти образ треугольника с вершинами в точках 0; 1; i при отображении
.
9. Выделите ветви многозначной функции
а) б) в)*
Отметьте точки ветвления.
10. Вычислите:
а) б) в) г)*
III. Свойства голоморфных функций. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
11. Используя интегральную формулу Коши вычислите интеграл:
а) б)
в) г) д) .
12*. Сформулируйте принцип максимума модуля для голоморфной функции,
рассмотрите пример .
13. Поясните , почему функция обращающаяся в нуль на бес-
конечности множестве E={ } не равна 0 тождественно.
Какой пункт теоремы единственности не выполнен ?
14. Используя теорему Лиувилля, докажите основную теорему алгебры.