Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт точных наук и информационных технологий
Кафедра математики и информационных технологий в образовании
Утверждаю
Проректор по учебной работе
_________________ Л.И.Быковская
«_____»_______________ 20___ г.
Программа утверждена
на заседании Учёного Совета института
точных наук и информационных технологий
Протокол № _____
от ___ _____________ 20___ года
Председатель
________________ В.В.Миронов
Программа государственного экзамена для специальности 010101.65 «Математика»
Сыктывкар 2011
Алгебра и геометрия
Основная теорема алгебры многочленов. Теорема Безу. Разложение многочлена на неприводимые над
и над
.Линейные пространства. Базисы, размерность. Линейные отображения и их матрицы. Ранг матрицы.
Линейные операторы в комплексных линейных пространствах. Свойства собственных векторов и собственных значений. Самосопряженные и унитарные операторы в унитарном (эвклидовом) пространстве.
Понятия группы, подгруппы, факторгруппы, гомоморфизма, изоморфизма. Теорема о гомоморфизме.
Понятие циклической группы. Классификация циклических групп. Подгруппы циклических групп.
Уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Классификация плоских кривых 2-го порядка.
Математический анализ
Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении и теоремы Вейерштрасса для непрерывной функции на отрезке.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши для дифференцируемой функции на отрезке.
Понятие дифференцируемой функции от нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости.
Формула Тейлора для функции одного переменного. Различные формы записи остаточного члена.
Локальные экстремумы функции одной переменной: необходимые условия, достаточные условия.
Понятие определенного интеграла (по Риману). Интегрирование непрерывной функции. Теорема о среднем значении интеграла.
Признаки сходимости числовых рядов: Даламбера, Коши, Лейбница, интегральный.
Различные виды сходимости функциональных последовательностей и рядов. Непрерывность равномерного предела последовательности и суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
Теоремы об интегрировании и дифференцировании функциональных последовательностей и рядов.
Мера Лебега на прямой. Понятие интеграла Лебега.
Теория функций комплексной переменной
Голоморфные функции. Условия Коши-Римана.
Интегральная теорема и интегральная формула Коши для односвязной области.
Представление голоморфной функции в виде степенного ряда.
Изолированные особые точки голоморфной функции. Ряд Лорана.
Вычеты голоморфной функции и их применение к вычислению интегралов.
Топология и функциональный анализ
Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества. Непрерывные отображения. Компактность. Критерий компактности множества в
.Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений.
Пополнение метрического пространства.
Нормированные и банаховы пространства. Пространство
,
его полнота и сепарабельность.Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала.
Понятие гильбертова пространства. Общий вид линейного функционала.
Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.