Частный случай течения жидкости (газа) через профилированный насадок.

Во многих случаях приходится встречаться с движением газа с большими скоростями (например, в ракетной технике, в газовых турбинах и т. д.). Физический процесс таких течений очень сложен. Рассмотрим лишь одну характерную особенность течения газа с большой скоростью по трубам переменного сечения, заключающуюся в том, что скорость газа с увеличением площади сечения трубопровода не всегда убывает, как то имеет место при движении несжимаемой жидкости, а может и возрастать (если скорость газа превышает скорость звука). Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Как известно, при движении несжимаемой жидкости по трубе переменного диаметра d, а следовательно, и переменной площади поперечного сечения S средняя скорость в соответствии с уравнением сплошности увеличивается с уменьшением d (т.е. с уменьшением S), и, наоборот, уменьшается с увеличением d.(рис. 1).

Рис. 1 Сопло Лаваля

При движении газа такое соотношение может и не сохраниться. Рассмотрим, например, случай установившегося движения невязкой газообразной жидкости. По условию постоянства массового расхода вдоль трубопровода (уравнение неразрывности) . Дифференцируя это уравнение, получим

и, разделив его на произведение , найдем

откуда следует

Определим теперь, чему равно , пользуясь уравнением Бернулли, которое для невязкой газообразной жидкости, как известно, имеет вид

Если для упрощения задачи принять трубу горизонтальной, то z=const и dz=0. В этом случае уравнение Бернулли упрощается:

откуда

Делая подстановку в (*), найдем

Учитывая, что для изоэнтропийного процесса местная скорость звука равна

и вводя обозначение , можно получить:

.

где: М — число Маха.

Это уравнение показывает, что поток ускоряется вдоль канала переменного сечения ( ) , при , , а также при , . Поток тормозиться вдоль канала ( ) при , , а также при , .

Таким образом, для непрерывного увеличения скорости газа необходимо сначала сужать дозвуковой поток, пока скорость не достигает скорости звука, а затем расширять сечение сверхзвукового потока.

В узком сечении сопла, где М = 1, величина = 0. Это наименьшее сечение сопла называют критическим. Параметры которые имеет газ при скорости течения газа равной скорости звука, называют критическими параметрами.

Система уравнений, описывающих одномерное установившееся изоэнтропическое движение газа в канале переменного сечения, включают следующие зависимости:

уравнение неразрывности G = VS ,

уравнение Бернулли

уравнение адиабаты ,

где P, , i, V, G — давление, плотность, полная энтальпия, скорость и

расход газа в некотором сечении канала;

— отношение теплоёмкостей .

Для перевода газа из состояния покоя в движение со скоростью V, необходимо израсходовать часть его энтальпии равную:

(1)

где i₀ = C_рТ₀, i = C_рТ_.

Здесь и далее индексом “0” отмечены параметры торможения.

Деля обе части уравнений (1) на квадрат скорости звука с²=RT и учитывая, что , получим:

.

Принимая во внимание, что отсюда имеем:

.

Или

(2)

Пользуясь соотношениями для идеальной адиабаты:

;

можно получить формулы для вычисления давления и плотности в идеальном потоке через параметры торможения:

(3)

(4)

В критическом режиме скорость течения газа равна скорости звука и из уравнений (2), (3), (4) можно получить следующие выражения для критических значений параметров газа:

(5)

Отсюда также следует, что скорость звука в критическом режиме течения определяется по формуле:

Можно характеризовать степень преобразования энтальпии в кинетическую энергию ещё одним способом.

Разделив уравнение (1) на квадрат критической скорости звука и вводя понятие приведённой скорости газа получим

.

Отсюда принимая во внимание, что , имеем

или

(6)

Пользуясь соотношениями для идеальной адиабаты и зависимостью (6) можно получить формулу для давления и плотности:

(7)

(8)

Связь между числами  и М легко установить, сравнивая выражения (2) и (6):

(9).

Зная значение числа  или числа М и параметры торможения P₀, T₀, ₀ c помощью приведённых соотношений легко найти параметры P, T, , характеризующие состояние движущегося газа.

Реактивная сила, создаваемая струёй, истекающей из сопла Лаваля, может быть определена по формуле

С изменением степени расширения сопла изменяется и давление газа в выходном сечении. Если исследовать функцию F на экстремум, то можно увидеть, что реактивная сила принимает максимальное значение при Р_кр=Р_с.

Если при Р_кр > Р_С окажется Р_В=Р_С, то говорят, что сопло работает в расчётных условиях, а истекающую струю считают расчётной. При Р_В>Р_С истекающая струя будет недорасширенной, а при Р_В < Р_С перерасширенной.

На практике обычно обеспечивают степень расширения сопла Лаваля такой, чтобы сопло работало в расчётном режиме. Приведём зависимости для определения конструктивных параметров сопла, обеспечивающего получение заданной реактивной силы при минимальных затратах газа.

При Р_с=Р_В из формулы (16) имеем:

(17)

Поскольку Р_с=Р_В, то расчётное значение _В можно найти с помощью газодинамической функции ():

(18)

Добавляя к уравнениям (17) и (18) зависимость

(19)

получим замкнутую систему уравнений, позволяющую при известных значениях F, P₀, P_c, k определить площади _кр и _В сопла Лаваля, работающего в расчётном режиме.