2. Сложность алгоритмов.

При оценке сложности алгоритма учитывается работа алгоритма на всех выходах или крайняя оценка – “в наихудшем случае”. Обычно вычислительная сложность характеризуется О (“О большое”), таким образом временная сложность не зависит от реализации.

Классификация алгоритмов, при рамере входных данных n :

•  Постоянные – сложность не зависит от n : O(1);

•  Линейные – сложность : О(n);

•  Полиномиальные – сложность : O(n^m), где m это константа;

•  Экспоненциальные – сложность : O(t^f(n)), где t константа большая 1, а f(n) – полиномиальная функция;

•  Суперполиномиальные– сложность : O(с^f(n)), где с константа, а f(n) – функция возрастающая быстрее постоянной, но медленнее линейной;

1. 3. Сложность задач.

Как отличить простые задачи от сложных?

Простые задачи (решаемые) – задачи, решаемые за полиномиальное время (например решение СЛУ в рациональных числах)

Сложные задачи (трудные, не решаемые) – задачи, которые не решаются за полиномиальное время, либо алгоритм решения за полиномиальное время не найден.

Помимо этого, существуют принципиально неразрешимые задачи, доказано А.Тьюрингом.

Сложность задач не определяется по сложности наилучшего алгоритма, ее решающего. Для оценки сложности вводится классификация по сложности функций, вычисление которых возможно при задаваемых ограничениях на потребляемые ресурсы:

1. a. Класс P – класс задач, которые можно решить за полиномиальное время.

1. b. Класс NP – класс задач, которые можно решить за полиномиальное время только на недетерминированной Машине Тьюринга: в отличии от обычной МТ может делать предположения. Это задачи у которых есть ответ, найти который трудно, но проверить можно за полиномиальное время.

Замечание: Ясно, что P входит NP, но вот проверить, что (P <> NP) или (P = NP) до сих пор не удалось. Это одна из важнейших проблем XXI века.

2. c. Класс NP-полных задач – класс задач, не менее сложных, чем любая NP задача. Т.е. решив такие задачи за полиномиальное время можно доказать (P = NP). К этому классу относится задача выполнимости - Задано логическое выражение. Существует ли набор правильных значений, на которых данное выражение будет истиной?(Пока не доказано.)

3. d. Класс PSPACE – класс задач, которые могут быть решены в полиномиальном пространстве, но не обязательно за полиномиальное время.

4. e. Класс PSPACE-полных задач – класс задач, которые обладают следующим свойством: если любая из них NP, то PSPACE=NP, и если любая из них является P проблемой, то PSPACE=NP.

5. f. Класс EXPTIME – класс задач, которые решаются за экспоненциальное время.

6. g. Класс EXPTIME-полных задач - класс задач, которые не решаются за детерминированное полиномиальное время. Известно, что P<>EXPTIME.

8 Алгоритм rsa. Математическая модель алгоритма. Стойкость алгоритма.

Алгоритм RSA

Диффи и Хеллман определили новый подход к шифрованию, что вызвало к жизни разработку алгоритмов шифрования, удовлетворяющих требованиям систем с открытым ключом. Одним из первых результатов был алгоритм, разработанный в 1977 году Роном Ривестом, Ади Шамиром и Леном Адлеманом и опубликованный в 1978 году. С тех пор алгоритм Rivest-Shamir-Adleman (RSA) широко применяется практически во всех приложениях, использующих криптографию с открытым ключом.

Алгоритм основан на использовании того факта, что задача факторизации является трудной, т.е. легко перемножить два числа, в то время как не существует полиномиального алгоритма нахождения простых сомножителей большого числа.

Алгоритм RSA представляет собой блочный алгоритм шифрования, где зашифрованные и незашифрованные данные являются целыми между 0 и n -1 для некоторого n.