Численное вычисление интегралов

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

, (1)

где f(x) непрерывная на [a, b] функция.

С помощью различных способов нахождения первообразных можно вычислить интегралы для довольно незначительного класса функций, поэтому возникает необходимость в приближенных методах вычисления интегралов.

Самым ранним численным методом интегрирования является метод средних прямоугольников. Идея его возникает из самого определения интеграла как предела суммы произведений ширины интервала разбиения на значение функции в его середине. Реализация этого метода в Mathcad достаточна проста:

Проверка показывает, что при достаточно больших п метод средних прямоугольников может быть достаточно точен.

Метод трапеций

Метод, основанный на приближении фрагментов кривой функции секущими, проходящими через границы интервалов разбиения, назвыается методом трапеций. Точность данного метода близка к методу средних прямоугольников, и величина ошибки пропорциональна квадрату ширины интервала разбиения. Общая формула метода трапеций может быть взята из геометрии:

(2)

Вычислим интеграл от той же функции теперь с помощью метода трапеций.

Описанные выше программы вполне эффективны, однако, практическое использование соответствующих им вычислительных функций неудобно в связи с тем, что невозможно определить то количество разбиений, которое нужно произвести на промежутке, чтобы получить результат необходимой точности. Напишем программу, вычисляющую интеграл по методу трапеций, которая позволяла бы обойтись одним заданием точности. Сделать это не сложно, учитывая, что с ростом числа разбиений результаты вычислений любым численным методом образуют равномерно сходящуюся последовательность, которая сходится к истинному значению интеграла.

Метод Ромберга

Данный метод является системным алгоритмом Mathcad. Здесь в качестве первого приближения вычисляется значение площади трапеции, основания которой проведены через границы промежутка интегрирования. Затем запускается цикл, на каждом круге которого шаг уменьшается вдвое. В качестве условия остановки цикла используют критерий разности двух последних приближений, оцененных относительно величины TOL.

Вычисление несобственных интегралов

Рассмотрим метод, предназначенный для вычисления интегралов от функций, не существующих в одной или в обеих точках пределов интегрирования (несобственные интегралы второго рода). В основе метода Singular Endpoint лежит модифицированный алгоритм Ромберга. В некоторых случаях интегралы с неопределенностью можно посчитать и при помощи адаптивного метода или (реже) простого метода Ромберга, однако, точность результата при этом будет немного ниже.

Как и для остальных численных методов интегрирования Mathcad, точность Singular Endpoint определяется величиной TOL. Абсолютно принципиальным при вычислении интеграла с неопределенностью является факт его сходимости в сингулярной точке. Несходящиеся интегралы либо, как правило, не подсчитываются вовсе, либо подсчитываются ошибочно.

Точное аналитическое решение

Endpoint

Адаптивный метод

Метод Ромберга

Метод Infinite Limit предназначен для расчета интегралов с бесконечными пределами интегрирования (так называемых несобственных интегралов первого рода). Самостоятельно выбирать данный метод не придется, поскольку система автоматически переключается на него при введении в оператор интегрирования символа бесконечности. Точность данного алгоритма весьма значительно зависит от величины TOL.

Точное аналитическое решение

(обычная точность)

Использование для вычисления интегралов с бесконечными пределами обычных методов (Ромберга или адаптивного) приведет к сообщение об ошибке.