Глава 2. Случайные величины

2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения с.В.

ОПР. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

С.л.- Х,У значения х,у.

ПР. число очков, при бросании кости, число выстрелов до первого попаданий в мишень, время безотказной работы прибора и т.д.

С.Л.- дискретные (принимающие конечное или счетное множество значений), непрерывная (несчетное)

Строгое определение С.В., исходя из теоретико – множественной трактовки основных понятий т.в.

ОПР. Случайной величиной Х называется числовая функция ,определенная на ПЭС, которая каждому элементарному событию ставит в соответствие число .

ПР. Опыт – бросание 2 монет. С.В. Х – число появлений герба.

Для любого описания с.в. недостаточно лишь знания её возможных значений, необходимо знать еще вероятности этих значения.

ОПР. Любое правило (таблица, график, функция), позволяющее находить вероятности произвольного события А, в частности, указывающее вероятности отдельных значений с.в. или множества этих значений, называется законом распределения с.в.

2.2. Закон распределения дискретной с.В. Многоугольник распределения

Пусть Х – д.с.в., которая принимает значения х_i, с некоторой вероятностью р_i, Закон распределения д.с.в. удобно задавать с помощью формулы , определяющей вероятность того, что в результате опыта с.в. Х примет значение х_i. Для д.с.в. Х закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения, где первая строка содержит все возможные значения ( в порядке возрастания) с.в., а вторая – их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.

Так как события несовместны и образуют полную группу событий, то их сумма их вероятностей равна 1.

Закон распределения д.с.в. можно задать графически, если на оси ох отложить значения с.в., а на оси оу – вероятности этих значений. Ломанную, соединяющую последовательно точки (х, р) называют многоугольником распределением (полигоном).

ОПР. С.в. Х дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел х_i, таких, что и .

Математические операции над д.с.в.:

1. Суммой (разностью, произведением) д.с.в. Х, принимающей значения х_i с вероятностями и д.в.с. У, принимающая значения у_j с вероятностями называется д.с.в. , принимающая значения с вероятностями для всех указанных значений i,j. В случае совпадения некоторых сумм, соответствующие вероятности складываются.

2. Произведение д.с.в. на число называется д.с.в. сХ, принимающая значения сх_i с вероятностями .

3. Две д.с.в. Х и У называются независимыми, если события независимы для любых j и I, т.е. ,

В противном случае они зависимы.

ПР.В урне 8 шаров: 5 белых, остальные – черные. Вынимают 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.( )

2.3. Функция распределения и её свойства. Функция распределения д.С.В.

Очевидно ряд распределения с.в. может быть построен для д.с.в., а для н.с.в. невозможно перечислить все её значения.

Кроме того, как будет рассмотрено позже, вероятность одного взятого значения н.с.в. равна нулю! (вероятность того, что рост мужчины – н.с.в.- точно равен метров, купленная лампа проработает – н.с.в.-ровно 800 часов). Событие возможное, но имеет нулевую вероятность.

Для характеристики поведения н.с.в. целесообразно использовать вероятность события , а не , где х – некоторое действительное число.

Такая вероятность не равна нулю, при изменении х, т.е. вероятность является функцией х.

Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным для д.с.в. и н.с.в., является функция распределения, обозначаемая F(x).

ОПР. Функцией распределения с.в.Х или интегральной называется функция F(x) , которая для любого х равна вероятности события

. (2.1)

Геометрически равенство (2.1) это означает: F(x) есть вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал .

Свойства функции распределения.

1. F(x) – ограничена, т.е. .

2. F(x)- неубывающая функция на R, т.е. .

3. .

4. Вероятность попадания с.в. Х в промежуток равна приращению её функции распределения на этом промежутке: . (2.2)

5. непрерывна слева.

Всякая функция распределения, обладающая свойствами 1-3,5 , может быть функцией распределения, причем формула (2.2) справедлива и для н.с.в.

Точное определение н.с.в.

ОПР. С.в. Х называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду кроме , может быть, отдельных точек.

С помощью 4 свойства показать – вероятность того, что н.с.в. примет заранее указанное определенное значение а, равна 0.

ПР.найти F(x) и построить её график.