1.5. Свойство статической устойчивости относительной частоты событий.

Пусть в n повторяющихся опытах некоторое событие А наступило раз.

ОПР. Число называется частой события А,а отношение (1.1)

относительной частотой (частостью) события А в рассматриваемой серии опытов.

Относительная частота события обладает следующими свойствами:

1. 0 Р*(А) 1;

2. Р*( )=О;

3. Р*( ) =1;

4. Р*(А+В)= Р*(А)+ Р*(В), если события несовместны.

Доказательство 4 св-ва: A+B=m+k, Р*(А)= m/n, P*(B)=k/n,P*(A+B)=(m+k)/n=m/n+k/n= Р*(А) + Р*(В).

Частость обладает свойством устойчивости, т.е. с увеличением числа опытов она принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу, или частость колеблется около некоторого числа.

ПР.5. Испытание бросание монеты. А- выпадение герба. Опыты Бюффона с монетой : п=4040, Р*(А)=0,5069. Опыты Пирсона с монетой : п=12000 (24000), Р*(А)=0,5016 (0,5005).

Отметим, что ТВ изучает только те массовые случайные явления с неопределенным исходом, для которых предполагается наличие устойчивости относительной частоты.

1.6. Статистическое определение вероятности.

Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую – либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов наступить, чем другие. Такой оценкой является вероятность события P(A), т.е. число выражающее степень возможности его появления в рассматриваемом опыте. Определений вероятности несколько.

Рассмотрим опыт, который можно повторять любое число раз (проводятся повторные испытания), в котором наблюдается некоторое событие А.

ОПР. Статистической вероятностью события А- есть числовая величина, характеризующая объективную возможность совершения событий или число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе опытов.

Согласно данному определению . (1.2)

Математическим обоснованием близости и вероятности некоторого события А служит теорема Бернулли.(рассматривается далее)

Вероятности приписывают свойства относительной частоты:

1. 0 РА) 1 - стат. вероятность заключена между числами 1и 0;

2. Р( )=О – стат. вер. невозможного события равна 0;

3. Р( ) =1- стат. вер. достоверного события равна1;

4. Р(А+В)= Р(А)+ Р(В), стат. вер. суммы несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

Некоторые ученые (Мизес и др) считают данное эмпирическое определение вероятности основным.

Недостатком данного определения является неоднозначность ста. Вероятности (пр. с монетой: разные результаты). Для уточнения значения требуется провести большее число опытов.

1.7. Классическое определение вероятности

ОПР. Равновозможными называются событиями, в данном опыте, если по условиям симметрии, есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Пусть произведен опыт с n исходами, которые можно представить в виде полной группы несовместных равновозможных событий в каждом из которых может наступить событие А наступило, к n- числу всех испытаний. Такие исходы называют случаями, шансами, элементарными событиями, опыт – классическим. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев или схеме урн (ибо вероятностную задачу для такого опыта можно заменить эквивалентной ей задачей с урнами, содержащими шары разных цветов).

Случаи : благоприятные событию А (событие А произошло) ,т.е. случай влечет событие А и неблагоприятные событию А (событие А не произошло).

ОПР. Вероятностью события А - называется отношение числа случаев m благоприятcтвующих к событию А, к общему числу случаев n:

. (1.3)

Из классического определения вытекают следующие свойства:

1. 0 Р(А) 1 - вероятность заключена между числами 1и 0;

2. Р( )=О –вер. невозможного события равна 0;

3. Р( ) =1- вер. достоверного события равна1;

4. Р(А+В)= Р(А)+ Р(В), вер. суммы несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

В настоящее время свойства вероятности определяются в виде аксиом (далее).

ПР.6. В урне находятся 14 белых и 6 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

Решение: А – событие, состоящее в том, что вынутый белый шар. n=14+6=20 – число всех равновозможных исходов (случаев). Число случаев, благоприятствующих событию А равно 14, m = 14.

.

ПР.7. Найти вероятность выпадения четного числа очков, при одном броске игральной кости.

Решение: Тк кость симметричная фигура, то выпадение граней равновозможное

.

ПР.8. Подброшена монета 2раза. Найти вероятность того, что при этом появится герб хотя бы один раз (событие А).

Решение. Всего произойдет 4 случая: (Г,Г), (Г,Ц), (Ц,Г), (Ц,Ц). Событию А - благоприятствуют 3 случая, значит .